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Ecuación de cauchy - Euler (raíces reales distintas)

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Ejemplo de solución de una ecuación diferencial de cauchy - euler de segundo orden (ecuación equidimensional de segundo orden)

Partiendo de la solución y = x^m, donde m debe ser determinado, se llega a una ecuación cuadrática cuyas soluciones para m son reales e iguales encontrando una la solución de la forma y = c1 X^m1 + c2 X^m1 LnX con m1 como la raíz de la ecuación de multiplicidad 2.

En este video veremos un problema resuelto de una ecuación diferencial de Cauchy-Euler en donde las raíces son reales e iguales. El problema es el siguiente: Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x^2)y’’+5xy’+4y =0. Veíamos en los videos anteriores que para resolver este tipo de ecuación se plantea una solución que tiene la forma: y = x^m, entonces, si planteamos esta solución necesitamos encontrar la primera y segunda derivada de esta solución para luego reemplazarla en la ecuación diferencial homogénea, tenemos así que: y’=(m)(x^m-1) y y’’=(m-1)(m)(x^m-2), reemplazando las expresiones obtenidas en la ecuación homogénea tenemos: (x^2)[ (m-1)(m)(x^m-2)]+5x[(m)(x^m-1)]+4(x^m)=0, si simplificamos esta expresión haciendo uso de las propiedades de los exponentes, vemos que la ecuación adquiere la siguiente forma: (m)(m-1)(x^m)+5(m)(x^m)+4(x^m)=0, sacando factor común tenemos: ( x^m)[m(m-1)+5m+4]=0. . 

Para que esta igualdad se cumpla vemos que necesariamente el término del corchete tiene que ser cero, entonces: [m(m-1)+5m+4]=0, como podemos observar la expresión anterior es una ecuación cuadrática, ya que si la reorganizamos tenemos:m^2+4m+4= 0. Vemos que se puede resolver esta ecuación por factorización ya que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, entonces tenemos: (m+2)(m+2)=0, es decir que las raíces solución de esta ecuación son reales e iguales m1=m2=-2. Entonces la solución general para una ecuación diferencial de Cauchy- Euler con raíces reales e iguales es de la forma: y=C1(x^m1)+C2(x^m1)lnx, como ya sabemos el valor de m, decimos entonces que la solución de esta ecuación diferencial es: y=C1(x^-2)+C2(x^-2)lnx.
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