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Ecuación de cauchy - Euler (raíces complejas conjugadas)

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Ejemplo de solución de una ecuación diferencial de cauchy - euler de segundo orden (ecuación equidimensional de segundo orden).

Partiendo de la solución y = x^m, donde m debe ser determinado, se llega a una ecuación cuadrática cuyas soluciones para m son complejas conjugadas.
Luego la solución de la ecuación diferencial es de la forma y = x^a (C1 Cos (B lnX) + C2 Sen(B lnX) con a parte real de las soluciones y B parte imaginaria

Este video es un ejemplo de la solución de una ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden en la que las raíces son complejas conjugadas. El ejemplo a resolver es la ecuación x^2y’’+2y=0. Recordemos que para la ecuación de cauchy-Euler siempre asumimos que la solución es de la forma y = x^m, lo que quiere decir que cuando sustituyamos en la ecuación diferencial se debe satisfacer, y para que ello suceda se debe encontrar m. Para hacerlo se procede a encontrar la segunda derivada y la primera. Después de haber encontrado las derivadas sustituimos en la ecuación diferencial. La ventaja de este tipo de ecuaciones es que cuando lo llevamos a esta forma obtenida todo queda en términos de x^m. 

En este caso como tenemos que encontrar una solución para m que haga que la ecuación hallada sea cero, debemos encontrar una m de modo que al sustituirla haga que eso suceda. Posteriormente se llega a una ecuación cuadrática, para lo que se procede a utilizar la fórmula de la ecuación cuadrática, con lo que nos encontramos unas raíces para m que son complejas conjugadas. Cuando esto sucede en las ecuaciones de cauchy-Euler la solución es de la forma y = x^a (C1 Cos (B lnX) + C2 Sen(B lnX) con alpha como parte real y beta como parte imaginaria.
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