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Ecuación de Cauchy - Euler (teoría método de solución)

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Ejemplo de solución de una ecuación diferencial de cauchy - euler de segundo orden (ecuación equidimensional de segundo orden)

Partiendo se la solución y = x^m, donde m debe ser determinado, se llega a una ecuación cuadrática cuyas soluciones para m son ambas reales y distintas siendo por tanto la solución de la forma y = c1 X^m1 + c2 X^m2 con m1 y m2 como raíces de la ecuación.

En este video se muestra un ejemplo de la solución de una ecuación diferencial de cauchy-Euler. La ecuación a resolver es de cauchy-Euler porque a las derivadas las está multiplicando un x con el mismo grado de la derivada. Lo primero que nos dice el método es que vamos a asumir que la ecuación diferencial tiene una solución de la forma y=x^m, vamos a encontrar la segunda derivada y la primera derivada para sustituir y luego encontrar la m. observemos que la ecuación diferencial que tenemos es homogénea, aunque el método también puede ser aplicado para no homogéneas encotrando primero la solución de la homogénea y luego la particular para lo que se recomienda utilizar el método de variación de partes. 

La solución de la ecuación diferencial depende del valor de m que entre otras se encuentra solucionando la ecuación. En este caso se llegó a una ecuación cuadrática para m, utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática con la que nos encontramos dos raíces reales distintas. Recordemos que la solución general para cualquier ecuación diferencial de Cauchy-Euler donde las raíces son reales distintas es de la forma y = c1 X^m1 + c2 X^m2 con m1 y m2 como raíces de la ecuación.
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