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Ecuación Integral y transformada de laplace parte 1

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Primera parte: Solución de una ecuación integral mediante la transformada de laplace.

Una ecuación integral es aquella donde aparece la integral de la función sin que aparezcan derivadas involucradas en la ecuación

Para dar solución a este problema se hace uso del mismo procedimiento para solucionar una ecuación diferencial donde debe encontrar primero la función en términos de s y luego a través de la transformada inversa encontrar la función en t que es incógnita

Como nos encontramos frente a una integral debemos hacer uso del teorema de la convolución para encontrar la transformada de laplace de dicha integral

En una serie de videos anteriores habíamos hablado de la definición y de cómo resolver una ecuación integrodiferencial, llamada así, debido a que la ecuación constaba de operaciones diferenciales e integrales en su expresión. En este video veremos como resolver una ecuación conocida como la ecuación integral que a diferencia de la ecuación integrodiferencial no posee derivadas en su expresión. La forma de la ecuación diferencial que vamos a resolver es la siguiente: f(t)=te^t+)∫τf(t-τ)dτ, con la integral evaluada entre cero y t, el objetivo será entonces hallar la función f(t), para resolver el problema usaremos la transformada de Laplace, recordemos de manera resumida el procedimiento que se debe seguir para la solución de este tipo de problemas, lo primero que se debe hacer es llevar la ecuación a términos del espacio s y una vez hecho esto se procede a hallar la transformada inversa y obtener así la solución del problema. 

Entonces lo primero que haremos es transformar esta ecuación, en términos de s de la siguiente manera: aplicamos transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad, teniendo en cuenta la propiedades de linealidad de la transformada, entonces, aplicando transformada a manos lados la ecuación queda de la siguiente manera: L[f(t)= L[te^t]+L[∫τf(t-τ)dτ], vemos que la transformadas de estos términos son fáciles de hallar empleando las definiciones y métodos vistos en los videos anteriores, la mayor dificultad radica en hallar la transformada de la integral, para ello usaremos el método de la convolución, en el video se muestra de manera detallada como se aplica el procedimiento, para así llegar finalmente a la siguiente expresión: F(s)=[1/(s-1)^2]+[(1/s^2)F(s)], despejando a F(s) de esta ecuación nos queda que: F(s)=[(s^2)/(s^2-1)(s-1)^2], una vez tenemos la ecuación en términos de s, sacamos transformada inversa a ambos lados de a ecuación para encontrar así la solución del problema, en el video se muestra de manera detallada como se usan las fracciones parciales para que la función quede en términos más simples y así poder hallar la transformada inversa de una manera más sencilla.
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