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Demostración segundo teorema de traslación

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Demostración del segundo de teorema de traslación de la transformada de laplace.

Se prueba que para cualquier función que sea el producto de f(t-a) por una función escalón unitario en a, la transformada de laplace es igual a e^-as por la transformada de f(t), denotada como F(s)

En este video veremos la demostración del segundo teorema de translación de la transformada de Laplace, este teorema nos decía que L[f(t-a) u(t-a)]=(e^-as)F(s), entonces para hacer esta demostración lo primero que debemos hacer es redefinir la función y ponerla como una función a tramos, recordemos entonces que la función escalón unitario es una función a tramos que se define de la siguiente manera: la función u(t-a) toma el valor de cero para los valores de t menores que a y toma el valor de 1 para los valores de t mayores o iguales a a, lo que acabamos de decir se expresa matemáticamente de la siguiente manera: la función u(t-a) es 0 para 0≤t
Ahora, si multiplicamos estas expresiones del escalón, por la función f(t-a), vemos que tenemos que la función toma un valor de cero para valores de t entre 0≤t
Como vemos, el valor de la primera integral es cero, por lo que la demostración se reduce a encontrar el resultado de la segunda integral, para resolver esta integral, haremos un cambio de variable, llamando w=t-a, con lo que dw=dt y redefiniendo los límites acuerdo a estos cambios de variables, tenemos que: L[f(t-a) u(t-a)]= ∫(e^(-s(w+a)) )f(w)dw, evaluada entre cero y más infinito. Teniendo en cuenta que ∫(e^(-s(w+a)) )f(w)dw es lo mismo que tener (e^(-as) )[∫(e^(-sw) )f(w)dw], vemos que la demostración queda completa ya que [∫(e^(-sw) )f(w)dw] es la transformada de Laplace de la función.
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eliot cenoz dice:
Friday, September 15, 2017
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En el minuto 2:30 observe un error y de inmediato me fije si había algún comentario al respecto sobre la integral definida entre cero e infinito, un minuto más tarde (3:30) el profesor lo corrige.
Hago este comentario para aquellos que lo vean para que no se preocupen.
Definitivamente este profesor tiene una brillantez y claridad sorprendentes en sus explicaciones ya que no da por sobreentendido nada repasando conceptos lo cual a mi criterio forma una base importante para la comprensión del tema.


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