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Aplicación ecuaciones diferenciales - movimiento de caída libre

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Una de las aplicaciones más importante de las ecuaciones diferenciales es el modelamiento matemático y solución al problema de encontrar la posición de un objeto que cae libremente (movimiento de caída libre).

Se muestra como gracias a las leyes de newton y la relación que las cantidades a medir tienen con el concepto de derivación se puede plantear una ecuación diferencial de segundo orden que describa el movimiento de una partícula que se arroja desde una altura cualquiera para que luego caiga libremente. Este es un problema cuyas condiciones iniciales nos permiten encontrar las constantes resultantes de la solución general en cada paso de su solución tal como se muestra en el video

En este video veremos una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones diferenciales mediante la solución del siguiente problema: supongamos que estamos parados en la azotea de un edificio de altura (ho) y que lanzamos un objeto hacia arriba y dejamos que caiga libremente, entonces nos interesa saber la posición (Y) de la partícula como función del tiempo. Antes de realizar el modelo matemático que describe este movimiento recordemos que por la segunda ley de Newton tenemos la siguiente ecuación: ma=-mg, es decir que la masa por la aceleración es igual al peso del cuerpo que está en movimiento. Recordemos que la aceleración puede ser expresada de manera diferencial como la variación de la velocidad con el tiempo, es decir: a=dv/dt, y la velocidad a su vez, es la variación de la posición con el tiempo, es decir: v=dy/dt, si yo relaciono estas dos cantidades, o sea que derivo a la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos una expresión de este estilo: a= [d(dy/dt)]/dt y que es lo mismo que tener la segunda derivada de y con respecto al tiempo: a=[(d^2)y]/dt^2, si sustituimos esta expresión en la ecuación de fuerzas de Newton, obtenemos la siguiente ecuación diferencial: m{[d(dy/dt)]/dt }=-mg. 

Para que esta ecuación diferencial sea resuelta, se necesitan de condiciones iniciales, en este caso podemos decir, que las condiciones iniciales de este problema son dos y son las siguientes: La primera condición inicial es que la posición inicial del cuerpo en el tiempo cero es igual a la altura del edificio: Y(0)=ho y la segunda condición es que la velocidad del cuerpo en el tiempo cero es igual a la velocidad inicial que le demos al cuerpo: Y’(0)= Vo. Si simplificamos la ecuación diferencial tenemos simplemente que y’’=-g y se puede resolver fácilmente por separación de variables para llegar a y’= -gt+C1 y mucho después a que y=-g(t^2/2)+ Vo+C2.
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