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Lección 176

Volumen de un sólido de revolución (teorema de Pappus) ejemplo 1

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Ejemplo resuelto de Cálculo del volumen de un sólido de revolución utilizando el teorema de Pappus.

En este problema se encuentra el volumen generado al hacer rotar con respecto a una recta que pasa por los puntos (6,0) y (0,5) un cuadrado de lado 2 cuyo vértice inferior izquierdo se ubica en el origen del eje de coordenadas

Este video es el primero de una serie de ejemplos en los que se muestra cómo utilizar el teorema de Pappus. En este ejemplo vamos a encontrar el volumen de un sólido de revolución utilizando el teorema de Pappus. En este caso tenemos en un eje de coordenadas, un cuadrado de lado 2, que vamos a hacer rotar respecto a una recta que pasa por los puntos (6,0) y (0,5). Para este ejemplo no tendría mucho sentido resolver este problema con los métodos tradicionales escogiendo un diferencial paralelo o perpendicular al eje de giro, porque el eje de giro dado no es ni paralelo ni perpendicular al eje y o x. Para resolver este ejercicio se utiliza el teorema de Pappus, pero para ello necesitamos conocer cuál es el centroide o centro de masa de dicho cuadrado, que es el punto (1,1). 

Teniendo esto, con el teorema de Pappus, sabemos que el volumen es igual al área de la región, en este caso el área del cuadrado, que multiplica a la longitud que recorre el centroide cuando lo hacemos girar respecto al eje. Como no conocemos la distancia del centroide a la recta, debemos en primer lugar conocer la ecuación de la recta. Una vez conocida la ecuación de la recta, nos interesa encontrar entonces la distancia entre la recta y el centroide. La fórmula de la distancia es entonces el valor absoluto del punto evaluado en la recta, sobre la raíz cuadrada de a cuadrado mas b al cuadrado, donde a es el número que acompaña a la x, y b el que acompaña a la y. Luego, cuando conocemos la distancia, podemos sustituir finalmente en la fórmula del volumen.
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