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Lección 164

Volumen de un sólido de revolución ejemplo 6 (mediante discos o arandelas)

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Aplicaciones de la integral definida.

Cálculo del volumen de un sólido de revolución mediante arandelas o discos.

En este ejemplo resuelto del cálculo de un volumen de revolución encontramos el volumen generado al hacer girar la región acotada por y=x y las rectas y=1, y=3 y x=3 alrededor de la recta x=5.

Escogemos un diferencial perpendicular al eje de giro lo cual nos hace usar arandelas o discos huecos para resolver el problema.

Este video contiene el sexto ejemplo acerca del cálculo del volumen de un sólido de revolución. En este caso vamos a encontrar el volumen que se genera al girar la superficie acotadapor las rectas y=x y las rectas y=1, y=3 y x=3 alrededor de la recta y=5. Para solucionar el problema debemos proceder a determinar si queremos el diferencial paralelo o perpendicular. En este caso resolvemos el problema utilizando uno perpendicular. Si hacemos girar el pequeño diferencial y sumamos todos los diferenciales vamos a obtener el volumen. Cuando hacemos girar este diferencial obtenemos una arandela o disco. 

La arandela es entonces el diferencial de volumen, y su volumen es igual al área de la arandela multiplicada por el espesor dy. El volumen de la arandela es igual al área de la circunferencia grande menos el área del hueco, multiplicado por el espesor. Si queremos encontrar el volumen necesitamos entonces encontrar la integral de pi que multiplica a la diferencia entre r1 y r2, multiplicados por el diferencial de y. El intervalo de integración nos lo dan y es entre 1 y 3. Finalmente, para resolver la integral, necesitamos entonces convertir a r1 y r2 en términos de y.
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