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Lección 190

Trabajo vaciado de tanques ejemplo 3

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Aplicaciones de la integral definida.

Trabajo necesario para vaciar un tanque semiesférico.

En esta serie de ejemplos resueltos se muestra como encontrar el trabajo necesario para el vaciado de un tanque cuya forma es una semi esfera de radio r metros y que se encuentra lleno de agua a un nivel de r/2 metros.

Se encuentra un diferencial de trabajo que depende de dos variables por lo cual es necesario usar la ecuación de una circunferencia cuyo centro no es el origen para relacionar ambas de forma tal que al finla solo se dependa de una variable. Este diferencial luego se integra entre los valores que da el volumen del líquido que ocupa el tanque.

Este video es la tercera parte de una serie de ejemplos acerca del cálculo del trabajo necesario para vaciar un tanque. En este caso se tiene un tanque semiesférico de radio r, el cual se encuentra lleno de agua hasta la mitad del radio. Si ubicamos el problema en un eje de coordenadas xy, tendríamos entonces que el punto (0,r) que representa la altura máxima del tanque, y el punto (0,r/2) representa hasta donde tenemos el agua. Para resolver este tipo de problemas hemos visto que lo que tenemos que hacer es encontrar el trabajo necesario para subir cada una de las porciones de agua que están dentro del tanque hasta la parte superior. En nuestro caso escogimos un disco de agua y vamos a encontrar el diferencial de trabajo para subir ese disco. 

Si tomamos todas las porciones posibles de agua, y calculamos todos esos trabajos y sumamos, vamos a encontrar el trabajo total. La forma de hacerlo es entonces con diferenciales para poder integrar. Tenemos que el diferencial de trabajo es igual al peso del volumen de agua por la distancia que vamos a hacer que recorra. La distancia la podemos encontrar si al radio le restamos la altura. Necesitamos encontrar una fórmula para el peso que esté en términos de diferenciales de tal forma que podamos integrar. El peso de esa porción de agua es igual a la masa por gravedad, donde la masa es igual a densidad por volumen. Conocemos la densidad y sabemos que el volumen es el área del disco por el espesor dy. Posteriormente sustituimos en la fórmula del diferencial de trabajo, para poder integrar, siendo necesario colocar todo en términos de y, para lo que se hace necesario recordar la ecuación de una circunferencia que no tiene centro en el origen.
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