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Lección 194

Trabajo para elevar una cadena con un tanque de agua

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Aplicaciones de la integral definida.

Cálculo del trabajo necesario para elevar una cadena usando una grua donde en la parte inferior se encuentra atado un tanque lleno de agua el cual tiene un escape.

La longitud de la cadena es 25 metros y la densidad lineal de la cadena es de 5kg/m. El peso del tanque es de 100 newtons y su volumen es de 2 metros cúbicos. La velocidad de ascenso de la cadena es 1m/s y la razón de salida de agua del tanque es de 4 litros por segundo.

Este ejemplo resuelto de trabajo considera una fuerza variable que depende de 3 elementos y es necesario utilizar la ecuación de una recta para encontrar la fuerza en términos de la altura h (que en este caso es la variable).

En un video anterior mostramos cómo podíamos utilizar la integral definida para encontrar el trabajo necesario para elevar una cadena utilizando una polea. Este es un problema clásico de trabajo donde la fuerza es variable. En esta ocasión tenemos un problema más complejo en el que tenemos una grúa que tiene un cable de 25m cuya densidad lineal es de 5kg/m, que tiene suspendido un tanque cuyo peso es 100 newtons y su volumen es 2 metros cúbicos, el tanque a su vez se encuentra lleno de agua. La velocidad con la que asciende el cable es de 1m/s y la razón de la fuga de agua del tanque es de 4litros/segundo. Encontramos entonces el trabajo necesario para elevar todo el sistema hasta el punto 25m. 

Recordemos que trabajo es la integral que va desde a hasta b, de f(x)dx, donde f(x) es una fuerza que va en el sentido de nuestro movimiento y x es una variable que escogemos, para representar la distancia que vamos a recorrer. En nuestro caso escogemos como variable no a x, sino a h, la que va desde 0 hasta 25m. Si queremos entonces resolver nuestro problema necesitamos encontrar f(h). En este ejemplo tenemos tres problemas en uno, ya que tenemos el trabajo necesario para elevar al tanque, también tenemos el cable y el agua. El problema con el cable es que el peso disminuye conforme aumentamos la altura, y con el agua sucede igual ya que esta disminuye en función de h. Si sumamos esos tres pesos tenemos la fuerza en términos de h, y podemos proceder a integrar.
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