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Lección 184

Trabajo llenado de tanques ejemplo 2

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Aplicaciones de la integral definida.

Bombeo de líquidos.

Se muestra como calcular el trabajo necesario para llenar un tanque con forma de un cono circular recto.

En esta serie de ejemplos resueltos sobre el bombeo de líquidos se calcula el trabajo necesario para llenar un tanque cónico de radio 2 metros y altura 6 mestros hasta llenarlo completamente. Lo primero que se hace es mostrar la forma del diferencial de trabajo para luego proceder a integrar pero teniendo en cuenta que en este problema es necesario usar semejanza de triángulos para relacionar las variables del diferencial original y hacer que este dependa de solo una de ellas.

En un video anterior mostramos cómo podíamos utilizar la integral definida para encontrar el trabajo necesario para llenar un tanque cilíndrico de agua. En este video se muestra cómo llenamos un tanque que tiene forma de cono circular recto. Para resolverlo vamos a partir de un diferencial de volumen del agua que necesitamos subir desde el punto inicial hasta el punto conocido como y. El diferencial de trabajo va a ser igual al peso del volumen de agua por la distancia, es decir, peso multiplicado por y. Si integramos dicho diferencial vamos a obtener el trabajo total, pero para integrar necesitamos conocer una fórmula para el peso que involucre un diferencial que nos diga desde donde hasta donde integramos. 

Para encontrar entonces el peso decimos que es igual a la masa de la porción de volumen, por la gravedad. La masa es igual a densidad por volumen. La densidad del agua la tenemos también. Nos interesa multiplicar por el volumen, y el volumen de la porción de agua es el volumen de un disco que es igual al área del disco por el espesor, donde el área es igual a pi por el radio que en nuestro caso es x. Una vez que tengamos el peso lo sustituimos en nuestro diferencial de trabajo. Para poder integrar ese diferencial de trabajo con respecto a y, nos encontramos con el problema que tenemos un x al cuadrado, y para poder integrar con respecto a y, necesitamos que todo esté en términos de y, entonces debemos convertir dicha x a que esté en función de y que es la altura.
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