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Lección 174

Teorema de Pappus (conceptos)

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Explicación conceptual de los teoremas de pappus (aplicación del centroide).

El área de la superficie formada por la rotación del arco de una región alrededor de un eje, situado en el mismo plano pero sin cortar a la región, es igual al producto de la longitud de arco de la región por la longitud que describe la rotación del centro de gravedad (centroide) de dicha región.

El volumen del sólido de revolución formado por la rotación de una región con respecto a un eje, que se ubica en el mismo plano y no corta a la región, es igual al producto del área de la región por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad (centroide) de la región.

Dado que ya conocemos como encontrar el centro de masa de una región, también conocido como centroide, vamos a ver una aplicación entonces del centro de masa. En este video se estudia entonces el Teorema de Pappus. La primera parte habla sobre cómo encontrar el área de una superficie de giro. Recordemos cuando hablábamos de superficies de giro, que era cuando teníamos una región cualquiera y la hacíamos girar con respecto a un eje o recta L. En este caso la recta L no necesariamente tiene que ser el eje x o y, o paralela a uno de esos ejes, sino que tenemos una recta cualquiera. Lo que dice Pappus es que si queremos encontrar el área de la superficie que se genera de rotar la región señalada respecto a L, necesitamos conocer la distancia que hay del centro de masa o centroide al eje de giro, y lo que vamos a hacer es multiplicar la longitud de arco S, por la longitud de la cinrcunferencia que forma el centro de masa al rotar respecto al eje. 

El área de la superficie va a ser igual entonces a la longitud de arco por 2pi por d. Observemos que no utilizamos integración, solamente quizá para encontrar x barra y barra. Luego, la segunda parte del teorema nos habla acerca del volumen de un sólido de revolución.En este caso, si hacemos girar la región señalada, respecto a la recta L vamos a formar un sólido. El teorema de Pappus nos dice que si queremos encontrar el volumen de ese sólido, es igual al área de la región multiplicada por la longitud que se genera al rotar el punto que es el centro de masa alrededor de la recta L. En otros términos el volumen es igual al área de la región multiplicada por 2pi por d.
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