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Lección 77

Sustitución trigonométrica cuando no hay raíces

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Técnicas de Integración: Sustitución trigonométrica.

Conceptos y ejemplos de como usar el método de sustitución trigonométrica cuando no se tienen raíces cuadradas.

Es útil saber que la técnica puede emplearse aunque no sea necesariamente lo más conveniente.

El método o técnica consiste en transformar la integral en términos de una función trigonométrica que depende de un ángulo teta, luego se integra la nueva función y a la primitiva de esta se convierte al final en términos de x o la variable original.

En este video se muestra la importancia de llevar integrales de este tipo a ser ilustradas en un triángulo rectángulo para que luego cuando necesitemos expresar la función en téminos de x sea más fácil el proceso

Cuando hablamos de la técnica de integración mediante sustitución trigonométrica habíamos dicho que la íbamos a utilizar para tres casos en los que involucraban distintas raíces, y para cada caso vimos cómo proceder mediante algunos ejemplos. Pero también habíamos dicho en el primer video de esta serie, que podíamos utilizar sustitución trigonométrica para resolver problemas donde no tuviésemos las raíces. Lo que sucede es que no es la técnica más corta o conveniente para realizar la integral, aunque de igual manera sirve para hacerlo. En este video se explica con ejemplos dónde podemos utilizar sustitución trigonométrica y cómo resolver problemas donde no tengamos raíces. 

Siempre que vayamos a utilizar sustitución trigonométrica es necesario que dibujemos el triángulo rectángulo para que se nos facilite el proceso. Del primer ejemplo podemos decir que como tenemos una diferencia el primer término va a ser la hipotenusa al cuadrado y que el segundo es un cateto al cuadrado. Finalmente el otro cateto es raíz de hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto al cuadrado. Recordemos que la x la ubicamos siempre al frente del ángulo. Luego se ha transformado la integral en términos de una función trigonométrica que depende de un ángulo teta, para lo cual buscamos una función trigonométrica que los relacione. Luego encontramos la derivada de esa nueva función en términos de teta, y luego sustituimos en la integral. 

Finalmente la primitiva de dicha función se convierte en términos de x o de la variable que tengamos originalmente. Otra técnica es utilizar el método de las fracciones parciales pero tendríamos el riesgo de que no podríamos tener tan clara las raíces a las que llegamos ni el valor absoluto, pero la respuesta que se obtiene es la misma. En los casos que la expresión no sea factorizable en los reales no podemos utilizar fracciones parciales
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