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Lección 75

Sustitución trigonométrica caso 2

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Técnicas de Integración: Sustitución trigonométrica.

Conceptos y ejemplos del segundo caso de integración mediante sustitución trigonométrica.

Se muestra como integrar funciones donde aparezca la raíz cuadrada de una constante "a" cualquiera más bx^2 (donde b también es una constante).

El método o técnica consiste en transformar la integral en términos de una función trigonométrica que depende de un ángulo teta, luego se integra la nueva función y a la primitiva de esta se convierte al final en términos de x o la variable original.

En este video se muestra la importancia de llevar integrales de este tipo a ser ilustradas en un triángulo rectángulo para que luego cuando necesitemos expresar la función en téminos de x sea más fácil el proceso

Continuamos con nuestra serie de videos sobre sustitución trigonométrica. En este video vamos a hablar sobre el segundo caso que existe para este método, y es cuando tenemos dentro de una integral la raíz cuadrada de “a” más bx^2, que vamos a solucionar utilizando la sustitución de x por raíz de a sobre raíz de b, por tangente de teta. Recordemos que cuando usamos sustitución no sólo debemos cambiar la x sino también el diferencial dx. Con esos elementos podemos transformar una integral que está en términos de x, a una integral en términos de un ángulo teta que va a ser más simple de resolver. 

Luego de encontrar la solución a la integral en términos de teta nos vamos a devolver a x. Devolvernos a x se hace más fácil si conocemos cómo ubicar todos los elementos de la integral en un triángulo rectángulo. De hecho, sabiendo ubicar bien los elementos de cualquier caso de sustitución trigonométrica bien en el triangulo rectángulo vamos inclusive a reconocer qué tipo de sustitución trigonométrica tenemos, sin necesidad de conocer lo que tendríamos expresado. Es muy importante entonces saber entonces que cuando tenemos una raíz con suma, dicha raíz es la hipotenusa del triángulo rectángulo. 

Como solo conocemos los catetos al cuadrado, vemos que si a es un cateto al cuadrado entonces el cateto mide raíz de a, y bx^2 es otro cateto al cuadrado, entonces el cateto mide raíz de bx. Como norma siempre vamos a poner el cateto que tenga la x al frente del ángulo para que sea el cateto opuesto, entonces ya sabemos cómo ubicar al otro cateto que es raíz de a. Con los elementos que poseemos podemos deducir que la mejor opción es tangente. Recuerden que en los tres casos tenemos que utilizar coseno, tangente o secante. Posteriormente se realizan dos ejemplos en los que se halla la integral utilizando la sustitución trigonométrica.
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