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Lección 101

Sustitución general para integrales de seno y coseno 2

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Técnicas de integración: Sustitución general para encontrar la primitiva de una función de seno y coseno.

En este segundo video se usan los elementos de la sustitución que nacen del cambio de variable t= tan x/2 y se usan para resolver la integral de 1 sobre 3-2cosx.

En este video veremos un método para encontrar la integral de una función de seno y coseno y resolveremos un problema donde se trata el cuarto caso de esta serie de videos, es decir, trataremos el caso general en donde la función seno y coseno no son ni funciones pares ni funciones impares (aunque debemos decir que este método cumple también para las funciones pares e impares, sin embargo cuando esto sucede, es más recomendable seguir los procedimientos enunciados en los videos anteriores y dejar este procedimiento cuando tengamos funciones que no sean pares ni impares). 

Recordemos que al comprobar que estamos ante el caso general de este tipo de funciones lo que se recomienda es hacer las siguientes sustituciones: t = tan(x/2), dx=(2/1+t^2)dt, senx= (2t/1+t^2) y cosx= (1-t^2/1+t^2). El problema que se propone en este video es el siguiente: Resolver la siguiente integral: ∫dx/(3-2cosx), como vemos en el video se puede demostrar fácilmente que esta función no es ni par ni impar por lo que podemos hacer las sustituciones recomendadas al inicio del video, entonces la integral adquiere la siguiente forma: ∫dx/(3-2cosx) = ∫((2/1+t^2))/(3-2 (1-t^2/1+t^2))dt, al efectuar las operaciones pertinentes y simplificar la expresión tal como se muestra en el video la integral adquiere la forma simplificada: ∫((2/1+t^2))/(3-2 (1-t^2/1+t^2)) dt = 2∫dt/(1+5t^2), como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver que la integral original, en el video se resuelve esta integral mediante sustitución trigonométrica. En el video se muestra de manera detallada como se soluciona la integral mediante la sustitución trigonométrica y se obtiene así el resultado final de la integral.
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