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Lección 144

Longitud de una circunferencia (deducción mediante integración)

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Deducción de la fórmula para la longitud de una circunferencia a partir del cálculo integral.

Dicha deducción se hace utilizando la fórmula de longitud de curva (integral definida) mostrada en videos anteriores. Se parte por utilizar una circunferencia centrada en el origen de un eje de coordenadas y de allí se extraen todos los elementos para aplicar la fórmula de longitud de curva.

El resultado es claramente 2*pi*r

Vamos a utilizar el cálculo integral para mostrar que la longitud de una circunferencia es veces pi por r. En otras palabras, se deduce la fórmula de la longitud de una circunferencia mediante integración. Para ello se utiliza la fórmula deducida anteriormente, que nos permite encontrar la longitud de una curva en un intervalo ab. Se trata entonces la circunferencia como una curva. Partimos por ubicar la circunferencia de radio r en un eje de cordenadas xy, y la centramos en el origen. Como bien sabemos, la circunferencia tiene como ecuación x^2+y^2=r^2. Ahora, si miramos nuestra fórmula de Longitud, necesitamos para poder utilizarla, conocer el intervalo ab y la función de x para derivarla. Dicho esto, para encontrar a f(x), procedemos por despejarla de la ecuación de la circunferencia a “y” en términos de x. Una vez encontrada f(x) procedemos a derivarla. 

Una vez tengamos todos los elementos procedemos a sustituir en la fórmula de la integral y resolviéndola, vamos a encontrar la longitud de la circunferencia. El problema de dicha integral es que encontrar la primitiva de la función parece muy complejo, por lo que procedimos reescribiendo la función de manera que obtengamos una integral impropia en la que tengamos que utilizar sustitución trigonométrica y así finalmente llegar al resultado que es precisamente 2 pi por r.
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