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Lección 41

Integrales tipo arco o argumento (inversas trigonométricas)

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Fórmulas de integrales inmediatas deducidas a partir de las funciones trigonométricas inversas conocidas como integrales tipo arco o argumento.

Se muestran dos ejemplos de los 6 posibles casos que se tendrían. Dichos ejemplos son el uso de seno y tangente inversa para generar nuevas fórmulas.

En este video se muestra como a través de transformaciones podemos llevar integrales indefinidas a las formas presentadas para aplicar las fórmulas obtenidas y encontrar las primitivas que responden a dichas integrales.

En este video vamos a introducir unas nuevas expresiones o fórmulas para encontrar rápidamente las primitivas de funciones, estas fórmulas son: ∫[(f' (x))/√(1-f(x)^2 )]dx = sen^-1f(x)+ C e ∫[(f'(x))/(1-f(x)^2 )]dx = tan^-1f(x) +C, recordemos que estas expresiones se deducen a partir de las derivadas, veamos las integrales más simples que se generan a partir de estas fórmulas y que son ampliamente utilizadas en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[1/√(1-x^2)]dx = sen^-1(x)+ C ya que f(x)= x y f’(x)=1 e ∫[1/(1-x^2 )]dx = tan^-1(x) +C ya que f(x)= x y f’(x)=1. Veamos algunos problemas de mayor complejidad para la aplicación de las fórmulas que acabamos de deducir, teniendo en cuenta que los procedimientos son similares sin importar cual de las dos funciones estamos trabajando, nos piden entonces hallar el resultado de la siguiente integral: ∫[dx/(4-6x^2 )], para resolver este problema lo primero que tenemos que hacer es ver a cual de las dos fórmulas se parece esta integral, como vemos se parece a la segunda integral sin embargo debemos generar la función empleando algún artilugio matemático, vemos que si factorizamos forzadamente la expresión del denominador obtenemos la siguiente integral: ∫[dx/(4-6x^2 )]= ∫(√(2/3))(1/4)[(√(3/2)dx)/(1-(6/4)x^2 )], como vemos esta integral tiene la forma apropiada y por lo tanto podemos aplicar la fórmula, tenemos entonces que el resultado final de la integral es: ∫(√(2/3))(1/4)[(√(3/2)) dx)/(1-(6/4)x^2 )] = (√(2/3))(1/4)tan^-1(√(3/2)x) + C. En el video se muestran de manera detallada el desarrollo algebraico para llegar a este resultado y además muchos más problemas de este tipo que nos ayudarán a deducir algunas fórmulas básicas de integración de funciones.
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