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Lección 81

Integral trigonométrica con valor absoluto

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Solución de una Integral definida cuando es el valor absoluto de una función trigonométrica.

Se soluciona la integral entre 0 y 2pi del valor absoluto de seno de x menos coseno de x.

Para solucionar esta integral se hace necesario redefinir la función para de esta forma solucionar la integral partiendo el intervalo de integración en tramos.

En un video anterior habíamos mostrado cómo podíamos resolver una integral definida cuando tuviéramos una función dentro de valor absoluto. En este ejemplo vamos a resolver un caso más complejo y es cuando tengamos la diferencia de seno y coseno dentro del valor absoluto. Recordemos que cuando tengamos una función dentro de valor absoluto en realidad es una función a tramos, ya que valor absoluto de x lo definimos como x si lo que está adentro es mayor o igual que cero, o menos x si lo que está adentro es menor que cero. Vamos entonces a redefinir nuestra función seno menos coseno. Dicha función dentro de las barras de valor absoluto, es igual a senx-cosx si lo que tenemos dentro es mayor o igual a cero. 

Vamos a tener que es –(senx-cosx) si lo que tenemos dentro es menor que cero. La reescribimos de manera que quede expresada a tramos en términos de valor absoluto como ya vimos. Ahora tenemos dos funciones distintas dependiendo de dos condiciones distintas. El problema para representar esta función, no tenemos los intervalos de x que en realidad hagan que las condiciones se cumplan. En realidad si integramos de 0 a 2pi necesitamos saber qué función voy a tomar para integrar para cada uno de esos casos. Lo que hacemos es encontrar los valores de x para los cuales las condiciones se hacen ciertas entre 0 y 2pi. Para ello podemos utilizar dos técnicas específicas para este ejercicio. Una de ellas se puede utilizar de manera general para cualquier tipo de problemas de estos, y consiste en utilizar el método de las cruces o ley de cementerio. La otra técnica consiste en utilizar graficación, dibujando seno y coseno y observar cómo se comporta esa diferencia. En este video se desarrolla primero por el método general y luego lo ilustramos para ver que el resultado es exactamente igual.
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