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Lección 27

Integración por sustitución simple parte 1

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Método de integración: sustitución simple o cambio de variable.

En este video se explica como mediante una sustitución o cambio de variable podemos simplificar una integral en x convirtiéndola a otra en una variable nueva de forma que la nueva integral sea más simple de resolver (tipo potencial o logarítmica).

Se dan varios ejemplos con el proceso paso, mostrando el criterio para escoger la sustitución y los elementos a sustituir.

En este video veremos un método de integración que nos permitirá encontrar la antiderivada de una función, este método es conocido con el nombre de cambio de variable o sustitución y consiste que si tenemos una integral expresada en términos de x, es decir ∫f(x)dx, vamos a tratar de convertirla mediante una sustitución a una integral expresada en términos de otra variable como por ejemplo: ∫f(t)dt y que sea más fácil de resolver que la integral original. En este video veremos problemas en los que buscaremos convertir o llevar las integrales a en donde la función a integrar posea la forma: t^n, en donde la integración dará primitivas de la forma t^n+1/n+1 cuando n es diferente de -1 y ln|t| cuando n es igual a -1. 

Entonces para ver como se aplica este método se propone resolver el siguiente problema: Solucionar la siguiente integral: ∫6x(x^2+1)^3dx, entonces para hacer la sustitución se recomienda tomar los factores que estén elevados a una potencia o que se encuentren dentro de raíces o que estén presentes en el denominador de la función, teniendo en cuenta estas recomendaciones procedemos a realizar la transformación t= x^2+1, como vemos esto no es suficiente debido a que hay más elementos de la integral que están en términos de x, entonces lo que debemos hacer es tratar de expresar todos los términos de la integral en función de t, vemos que si derivamos a t con respecto a x tenemos que: dt/dx= 2x, y podemos despejar a dx en términos de t como dx=dt/2x, reemplazando estas sustituciones en el integral tenemos que: ∫6x(x^2+1)^3dx = ∫6x(t)^3(dt/2x)= ∫3(t)^3dt, como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver que la integral original, tenemos entonces que ∫3(t)^3dt = (3/4)t^4 + C, muchos pensarían que este sería el resultado de la integración pero no lo es, debemos regresar nuevamente a la variable original esto se logra sustituyendo la t en términos de x, tenemos entonces que el resultado final de la integración es: ∫6x(x^2+1)^3dx= (3/4)( x^2+1)^4 + C. En el video se muestran más problemas de este tipo.
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