Integral irracional mediante sustitución de euler caso 3

Técnicas de integración: Integración de funciones irracionales R(x, raíz de ax^2+bx+c) mediante la sustitución de euler tercer caso
Para resolver una integral indefinida donde ax^2+bx+c es factorizable en los reales (tiene dos raíces reales) se hace la sustitución raíz de ax^2+bx+c =( x-r)t donde r es una de las raíces de la función cuadrática que se encuentra dentro de la raíz cuadrada.

Este video es la continuación de una serie de ejemplos sobre las conocidas Sustituciones de Euler para el tecer caso. Dicho caso lo vamos a utilizar cuando tenemos integrales de tipo R(x, raíz de ax^2+bx+c), donde ese ax^2+bx+c igualado a cero, tenga soluciones reales. Es decir que a x1que lo llamamos alfa y a x2 lo llamamos beta, son las raíces de esa ecuación. Quiere decir que podemos factorizar conocidas las raíces reales alfa y beta. Esto nos sirve para la sustitución, ya que este caso de la sustitución de Euler nos dice que hagamos esta raíz igual a x menos alfa, o x menos beta, multiplicado por t. De donde obviamente debemos despejar a x, y encontrar a dx para sustituir en la integral. 

En el video se soluciona un ejemplo, en el que se se puede utilizar también el caso I y II, utilizando la sustitución para el tercer caso. Recordemos que para poder utilizar la sustitución de Euler, debemos demostrar que la ecuación que está en la raíz tiene un par de soluciones reales, o lo que es lo mismo, que sea factorizable. Para saber si es factorizable podemos utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas o podemos tratar de factorizar, en este caso, por tanteo. Como pudimos factorizar, encontramos las raíces, de esta manera podemos encontrar el x menos alfa para realizar la sustitución. Una vez tenemos la integral en términos de t, podemos resolverla utilizando sustitución trigonométrica o transformándola a una inversa. En este caso se optó por la primera opción.