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Lección 136

Integral impropia mixta ejemplo 2

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Integrales impropias mixtas: Solución de la integral 1 sobre x^2-1 que va desde x igual a 0 hasta infinito.

Como esta integral está definida en un intervalos infinito y tiene una discontinuidad en el mismo se dice que la integral es mixta y debe convertirse en la suma de tres integrales, ya que la discontinuidad no se presenta en uno de los límites de la integral.
Se forman dos integrales impropias del tipo II y otra de tipo I para solucionar de forma independiente mediante límites.

Esta integral es divergente.

Este video es el segundo de una serie de ejemplos sobre cómo resolver integrales impropias mixtas. Se muestra el procedimiento para resolver la integral entre cero e infinito de la función 1/( x^2-1). Rápidamente identificamos que en el límite superior de la integral tenemos un infinito, pero no vemos que tengamos en el límite inferior una discontinuidad. Para que la integral sea impropia mixta debemos tener un intervalo infinito y una discontinuidad. Para encontrar la discontinuidad podemos factorizar, en este caso, como una diferencia de cuadrados y encontrar los valores para los que x se haga cero. Como se cumplen las condiciones para que sea integral impropia mixta, procedemos a transformarla, partiéndola en dos integrales, una desde el límite inferior hasta el punto de la discontinuidad, y la otra desde ese punto hasta el límite superior. 

Lo que debemos hacer es partir nuevamente la integral, tomando como nuevo intervalo el punto de la discontinuidad y un valor arbitrario para el límite superior. Una vez tenemos las integrales particionadas, optamos por verificar si hay una de las integrales que sea divergente, ya que si esto sucede no tenemos que resolver el ejercicio. Para poder resolver las tres integrales necesitamos conocer la primitiva de la función, para lo cual utilizamos fracciones parciales. Una vez tenemos la primitiva de la función utilizamos la notación de límites. Si sustituimos en el primer límite vemos que tenemos como resultado menos infinito, por lo cual podemos decir que la integral es divergente.
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