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Lección 134

Integral impropia con discontinuidad ejemplo 3

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Integrales impropias con integrando discontinuo: Solución de la integral impropia 1(x-1) en el intervalo de x=0 hasta x=3 (integral impropia tipo dos).

En este caso la discontinuidad no se presenta en los límites de la integral sino en un valor que se encuentra entre ellos. Específicamente en x=1.

La integral debe convertirse en la suma de dos integrales donde en los límites de integración si aparezca dicho valor. Luego se resuelven las integrales transformándolas a límites laterales.

Esta integral diverge y se muestra que si por error se hubiese resuelto sin considerar la discontinuidad se obtendría un valor que en realidad no es correcto

Este video es el tercero de una serie de ejemplos de integrales impropias de tipo 2, o integrales en el que el integrando es discontinuo. En este caso se resuelve la integral de cero a tres, de 1/(x-1). Si miramos los límites de la integral, en este caso cero y tres, nos vamos a dar cuenta que en ninguno de los dos vamos a tener una discontinuidad, dado que si sustituimos a la x por cero, hay imagen para él, y si sustituimos el tres, también tenemos imagen. Decimos entonces que vamos a resolver esta integral como una de tipo 2, porque se presenta una discontinuidad cuando x se hace 1. Cuando esto sucede el denominador se hace cero, y el problema que tenemos es que el 1 se encuentra en el intervalo de integración, por lo que tenemos que dividir esta integral en dos. 

Entonces, la primera integral va desde el límite inferior de la integral original hasta el valor donde tenemos problema, y luego la segunda integral va desde el valor en que tenemos problema hasta el límite superior de la integral. Para resolver dichas integrales la podemos resolver como un límite. Para integrar esta expresión, utilizamos la fórmula que nos dice que la derivada de una función sobre la misma función, es igual al logaritmo natural de la función. Si una de las integrales parciales es divergente, ya sabemos entonces que la integral total es divergente.
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