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Lección 12

Integral Definida y sus propiedades básicas

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Propiedades básicas de la integral definida.

Se muestra que una integral definida en un mismo valor (límite superior igual al inferior) es cero, que la integral definida de la función constante es ese valor por la diferencia de los límites de la integral, que la integral se puede particionar, que es distributiva con respecto a la suma y que la integral de una función por una costante es la constante por la integral de dicha función.

En este video se explica qué es la integral definida y cuáles son sus propiedades. Habíamos dicho en videos anteriores que la integral definida era una forma de resumir el límite que equivale al área bajo una curva en el intervalo a, b. Asumiendo que todas las imágenes de la función son positivas entre a, b. Se escoge la notación de integral definida para simbolizar suma entre a y b, de la función por el dx. La notación lo que nos dice es que sumemos los productos en el intervalo entre a y b. Se tiende a decir que una integral definida es un área, y esto no es del todo cierto, ya que una integral definida es en realidad una suma de áreas. Cuando nos encontremos con un área negativa, lo que hacemos es tomar valor absoluto. Recordemos que debemos observar bien al hallar integrales, cuándo los valores de la función se hacen negativos. 

Entendiendo entonces que la integral es una suma de áreas, vamos a hablar de sus propiedades. La primer propiedad que vemos es que la integral definida entre a y a (es decir límites del intervalo iguales), de una función, es igual a cero. La segunda propiedad explicada es la de la partición, que consiste en decir que podemos particionar el intervalo y hallar la integral para cada intervalo, y el resultado es igual que si calculáramos directamente la integral para el intervalo total. La siguiente propiedad consiste en que si nos piden una integral de una función entre a y b (donde a es mayor que b), el resultado sería igual a tener la integral con signo negativo entre b y a. La siguiente propiedad nos dice que la integral de una función constante entre a y b, es igual a la constante multiplicada por la diferencia de b menos a. 

Otra propiedad importante es la que nos dice que si tenemos que calcular una integral de la suma de varias funciones, es igual a tener la suma de la integral de cada función. La última propiedad explicada en este video dice que cuando tengamos una integral definida de una constante por una función, sería igual a tener la constante multiplicando la integral de la función. Con estas propiedades podremos manipular bien la notación de la integral definida. Finalmente se explica un ejemplo que demuestra que es más sencillo calcular la integral, no utilizando el límite de la sumatoria, sino reescribiéndolo con la notación de la integral definida.
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