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Lección 13

Integral Definida y el teorema fundamental del cálculo

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Demostración simple del teorema fundamental del cálculo.

Se muestra que la integral definida de cualquier función entre a y b es igual a la diferencia entre la primitiva evaluada en b y la primitiva evaluada en a.

Finalmente se muestra con un ejemplo como este importante teorema nos ayuda a ahorrar tiempo.

Hasta el momento hemos dicho que si queremos encontrar el área bajo una curva en donde todas las imágenes de x son positivas en el intervalo a y b teníamos que calcular el siguiente límite: lim(x→∞)∑f[(1+i(b-a/n)][(b-a)/n], decíamos también que podíamos escribir este límite de la forma simplificada ∫f(x)dx, esta forma simplificada nos ayuda a comprender que es posible hallar de una manera más sencilla el límite, es decir, podemos hallar el valor de este límite teniendo en cuenta que: ∫f(x)dx=F(b)-F(a), o sea que el límite se puede hallar como la primitiva de la función evaluada en b menos la primitiva de la función evaluada en a, en este video trataremos de demostrar de una manera no tan formal este teorema conocido como teorema fundamental del cálculo. 

Para realizar esta demostración partamos de una función A(x) , observemos que según la gráfica que se muestra en el video A(x+h)- A(x)=f(x)h, si despejamos f(x) de esta expresión tenemos que f(x)= [A(x+h)- A(x)]/h, observemos que si lo que queremos es que A(x+h)- A(x)= f(x) tal y como se muestra en la gráfica lo que debe suceder es h tienda a cero, en otras palabras decimos que f(x)= lim(h→0){ [A(x+h)- A(x)]/h}, sabemos que por definición este límite es la derivada de la función A, es decir f(x)=A’(x), observemos entonces que A(x) es con respecto a f(x) la primitiva de la función, por lo cual podemos decir que A(x)=F(x)+C. Ahora observemos que si yo quiero evaluar el área en el punto a tenemos que A(a)=F(a)+C=0 (es igual a cero porque aun no hemos comenzado a recorrer al función) y por lo tanto podemos decir que C=-F(a) por lo que tenemos que el área en cualquier punto de la función es: A(x)=F(x)-F(a), ahora si queremos hallar el área en el punto b simplemente evaluamos la función y nos queda que A(b)=F(b)-F(a), quedando así demostrada esta propiedad.
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