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Lección 33

Integral definida mediante cambio de variable

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Cálculo de una integral definida mediante cambio de variable.

Para calcular una integral definida es necesario encontrar la función primitiva para luego proceder a evaluar los límites de la integral pero encontrar dicha función primitiva en muchos casos es más simple a mediante una sustitución. En este video mostramos como podemos integrar el cálculo de la primitiva con la evaluación de la integral mediante un cambio de variable sin pasar por la primitiva original sino por la primitiva de la función en la nueva variable.

Para ello es necesario recalcular los límites de la nueva integral lo cual se hace sustituyendo los límites anteriores en la variable nueva
En este video vamos a resolver un problema por el método de cambio de variable o sustitución para resolver una integral definida, recordemos que este método consiste en que si tenemos una integral expresada en términos de x, es decir ∫f(x)dx, debemos tratar de convertirla mediante una sustitución a una integral expresada en términos de otra variable como por ejemplo: ∫f(t)dt y obtener así una expresión más fácil de integrar, la única diferencia con respecto a los problemas que hemos estado haciendo para integrales indefinidas es que en este caso debemos hacer cambios en los límites de integración y expresarlos en términos de la sustitución efectuada, para observar de manera más clara como se procede en este tipo de problemas se realizará el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente integral:∫x(x^2+1)^(3/2) dx evaluada entre 0y 1, entonces siguiendo las recomendaciones dadas en los videos anteriores hacemos t= x^3+1, para hallar a dx en términos de t derivamos a t con respecto a x, entonces dt/dx=2x por lo que dx=dt/2x, una vez hecho esto, debemos hacer un cambio de límites utilizando para ello la misma sustitución realizada, tenemos entonces que cuando x vale 1 t adquiere el valor de: t=1^2+1=2 y cuando x vale 0 t adquiere un valor de t=0^2+1=1, reemplazando estas sustituciones en el integral tenemos que: ∫x(x^2+1)^(3/2) dx = ∫x(t)^(3/2) (dx/2x) = ∫(1/2) (t)^(3/2) dx evaluada entre 1 y 2, como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver que la integral original, tenemos entonces que: ∫(1/2) (t)^(3/2) dt = (1/5)(t)^5/2 evaluado entre 1 y 2, en los videos anteriores observábamos que volvíamos a la variable original para dar la respuesta definitiva al problema, en este caso no es necesario debido a la modificación que efectuamos en los límites de la integral, entonces lo único que falta por hacer para hallar la solución es evaluar los límites en t, tenemos entonces que: ∫x(x^2+1)^(3/2) dx = [(1/5)(2)^5/2]-[(1/5)(1)^5/2] = (1/5)(4√2-1)
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