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Lección 94

Integral de una función racional impar

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Técnica de integración: Método para encontrar la integral de una función racional impar mediante sustitución.

Cuando se tenga una función racional impar la sustitución t=x^2 puede facilitar el proceso de cálculo de dicha integral.

En este video veremos un método para encontrar la integral de una función racional impar mediante el uso de la sustitución, antes de ver este mecanismo recordemos que si tenemos una expresión racional de la forma P(x)/Q(x) y cambiamos a x por menos x, de tal manera que la expresión tome la forma P(-x)/Q(-x) obteniendo –[P(x)/Q(x)] decimos que la función es racional impar. Entonces si tenemos la integral de una función racional impar, es decir: ∫P(x)/Q(x)dx lo que nos dice este método es que utilicemos la siguiente sustitución: t=x^2, para ver de manera más clara en que consiste este método se propone resolver el siguiente problema: Solucionar la siguiente integral: ∫dx/[x(x^4+1)], entonces lo primero que debemos hacer para resolver esta integral por este método es verificar si la función racional es impar, como vemos al reemplazar a x por menos x obtenemos que: 1/[x(x^4+1)]= 1/[-x((-x^4)+1)]= -1/[x(x^4+1)], por lo tanto decimos que esta función es racional impar, una vez que hemos comprobado que la función racional es impar, procedemos a hacer la sustitución t=x^2, como vemos esto no es suficiente debido a que hay más elementos de la integral que están en términos de x, entonces lo que debemos hacer es tratar de expresar todos los términos de la integral en función de t, vemos que si derivamos a t con respecto a x tenemos que: dt/dx= 2x, y podemos despejar a dx en términos de t como dx=dt/2x, al reemplazar estas sustituciones en la integral tenemos que: ∫dx/[x(x^4+1)]=∫dt/2x[x(t^2+1)], si efectuamos la multiplicación que esta expresada en el denominador tenemos que (2x)(x) = 2x^2 , que se puede expresar como 2t, en términos de la sustitución anteriormente mencionada, entonces la integral adquiere la siguiente forma: ∫dt/2x[x(t^2+1)]= (1/2) ∫dt/[t(t^2+1)], como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver ya que podemos resolverla mediante el uso de fracciones parciales. En el video se muestra de manera detallada como se acaba de resolver esta integral.
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