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Lección 99

Integral de una función par en seno y coseno

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Técnicas de integración: Método para integrar una función de seno y coseno que sea par justo en seno y coseno.

Para resolver una integral de esta naturaleza se utiliza la sustitución t=tanx.

En este video se muestran dos ejemplo del uso de esta técnica.

En este video veremos un método para encontrar la integral de una función de seno y coseno y trataremos el tercer caso de esta serie de videos, es decir, trataremos el caso en donde la función seno y coseno son funciones pares, es decir vamos a ver un método para resolver integrales que tengan la siguiente forma: ∫P(senx,cosx)dx, en donde las funciones seno y coseno son lo que implica que: ∫P(-senx,- cosx)dx =∫P(-senx,cosx)dx, entonces cada vez que podamos comprobar que las funciones sean pares lo que debemos hacer para resolver la integral es realizar la sustitución t=tanx y por consiguiente dx=dt/sec^2(x), la ventaja de hacer esta sustitución es que la mayoría de veces se puede simplificar la integral cuando reemplazamos el dx en términos del dt debido a que podemos expresar la secante en términos de la tangente, para ver esto, se propone el siguiente ejemplo: Resolver la siguiente integral:∫dx/(1+tanx), como vemos esta integral es una integral en funciones de senos y cosenos ya que tanx=senx/cosx, entonces lo que debemos hacer para resolver esta integral es hacer la sustitución t=tanx y dx=dt/sec^2(x) con lo que la integral adquiere la forma: ∫dx/(1+tanx) = ∫dt/(sec^2(x)[1+t]), como vemos el problema con esta integral es el término secante, sin embargo si recordamos que sec^2(x)=1+tan^2(x) vemos que podemos expresar toda la integral en términos de t de esta manera: ∫dt/(sec^2(x)[1+t])= ∫dt/(1+t^2 )(1+t), como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver que la integral original, en el video se resuelve esta integral mediante el uso de fracciones parciales. En el video se muestra de manera detallada como se soluciona la integral empleando fracciones parciales y además se presenta un ejemplo más de este tipo de integrales en donde tanto la función seno como la función coseno son funciones pares.
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