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Lección 5

Integral de una función a la n parte 2

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Método para integrar funciones a la potencia n cuando están multiplicadas por su derivada.

Se muestran tres ejemplos donde a través de artilugios se pueden re escribir ciertas funciones para que la fórmula para integrar funciones a la n aplique.

En este video veremos algunos problemas donde aplicaremos artilugios matemáticos con el fin de llevar las integrales de algunas funciones a una forma en donde podamos aplicar la fórmula ∫[f(x)^n ][f^' (x) ]dx= [(x^n+1)/n+1] + c, con n diferente de -1 y poder así hallar las antiderivadas de dichas funciones. El primer problema es: Solucionar la siguiente integral: ∫〖4x(√(8x^2+1)dx, para solucionar este tipo de problemas en los que la función posee raíces, lo que debemos hacer es expresar las raíces como potencias, efectuado este procedimiento la integral adquiere la siguiente forma: ∫〖4x(√(8x^2+1)〗)dx= ∫〖(4x) (8x^2+1)^(1/2) (dx), si decimos que f(x)= (8x^2+1)^(1/2) con n=1/2 vemos que f’(x) =16x como vemos este resultado se parece al 4x que esta a la izquierda de esta función por lo tanto si convertimos este 4x en 16x podemos expresar la integral como: ∫〖(4x) (8x^2+1)^(1/2) (dx) 〗= (1/4) ∫〖(16x) (8x^2+1)^(1/2) (dx), si observamos, lo que hicimos al aplicar estos artilugios es tratar de llevar lo que hay dentro de la integral a esta forma ∫[f(x)^n ][f^' (x) ]dx,es decir una función elevada a la potencia n multiplicada por la derivada de esta función, todo esto con el fin de aplicar la fórmula en donde nos dice que la solución a esta integral es: [(x^n+1)/n+1] + c, teniendo en cuenta lo anterior vemos que: (1/4) ∫〖(16x) (8x^2+1)^(1/2) (dx) 〗= (1/4) (8x^2+1)^(3/2)(2/3) +C. 

El segundo problema es: Solucionar la siguiente integral: ∫〖8x(∛(2x^2-1)〗)dx, para resolver este problema seguimos el mismo procedimiento que efectuamos en el problema anterior, vemos que: ∫〖8x(∛(2x^2-1)〗)dx= ∫〖8x(2x^2-1)^(1/3) (dx), si f(x)= (2x^2-1)^(1/3) con n=1/2 vemos que f’(x)= 4x, por lo tanto debemos hacer que 4x se trasforme en 8x, para hacer esto vemos que podemos reescribir la integral como: ∫〖8x(2x^2-1)^(1/3) (dx)〗=2∫〖4x(2x^2-1)^(1/3) (dx), al expresar así esta integral podemos aplicar la fórmula, tenemos entonces que el resultado de la integral es: 2∫〖4x(2x^2-1)^(1/3) (dx)〗= 2(3/4)( (2x^2-1)^(4/3)+ C. En el video se resuelve un problema más de este tipo.
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