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Lección 39

Integral de las funciones secante y cosecante al cuadrado

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Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función secante al cuadrado cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo y de la función cosecante al cuadrado también cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo.

La primera integral es igual la tangente del ángulo y la segunda a la cotangente del ángulo.

En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integrales (denominadas por algunos como integrales inmediatas). Se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante.

En este video veremos un par de integrales que si se pueden deducir directamente de la derivación, tenemos entonces que a partir de las siguientes derivadas d/dx[tanf(x)]=[sec^2f(x)][f’(x)] y d/dx[cotf(x)]= [-csc^2f(x)][f’(x)] podemos deducir las siguientes fórmulas de integración: ∫[sec^2f(x)] [f´(x)]dx = tanf(x)+C e ∫[csc^2f(x)] [f´(x)]dx =- cotf(x)+C, veamos las integrales más simples que se generan a partir de estas fórmulas y que son ampliamente utilizadas en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[sec^2(x)] dx =tannx +C ya que f(x)=x y f’(x)= 1 e ∫[csc^2(x)] dx=-cotx+C ya que f(x)=x y f’(x)= 1. 

Veamos algunos problemas de mayor complejidad para la aplicación de las fórmulas que acabamos de deducir, teniendo en cuenta que los procedimientos son similares sin importar cual de las dos funciones estamos trabajando (sec^2x ó csc^2x ), nos piden entonces hallar el resultado de la siguiente integral ∫[sec^2(8x)] dx, como vemos en este caso f(x)=8x y f’(x)= 8, es decir no tenemos la función multiplicada por la derivada de la función, entonces el artilugio que debemos hacer es multiplicar y dividir por 6 de tal manera que reescribamos la integral como: ∫sec^2(8x)dx =(1/8) ∫8[sec^2(8x)]dx, ahora podemos aplicar la fórmula y obtener: ∫[sec^2(8x)] dx = (1/8) tan(8x)+C, observemos que si nos hubieran pedido la integral de este mismo ángulo pero esta vez con la función cosecante tendríamos que hacer el mismo artilugio matemático. En el video se muestran muchos más problemas de este tipo que ayudarán a su vez a deducir alguna fórmulas básicas de integración de funciones.
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