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Lección 37

Integral de la función tangente

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Método y ejemplos de como encontrar la integral indefinida de la función tangente cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo
Dicha integral es igual al logaritmo natural de secante del ángulo o lo que es equivalente a menos el logaritmo de coseno del ángulo.

En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata pese a que se deduce de una sustitución) y se muestra el caso particular en que la derivada del ángulo sea una constante.

En este video vamos a aprender a encontrar la primitiva de la función tangente cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, ya que para la tangente no existe una derivada tan inmediata. Para deducir esta fórmula partimos del hecho de quela tangente se puede expresar como una función del seno y del coseno, entonces si lo que queremos hallar es una expresión para ∫[tanf(x)][ f'(x)]dx podemos expresar esta misma integral como: ∫[senf(x)/cosf(x) ][f'(x)]dx, para solucionar esta integral utilizaremos el cambio de variable t= cosf(x), escogemos este cambio de variable según las recomendaciones dadas en los videos anteriores para el método de la sustitución, en los cuales nos aconsejan escoger funciones que se encentren en el denominador, entonces si derivamos a t con respecto a x tenemos que dt/dx=[-senf(x)][f’(x)], y al despejar dx tenemos que: dx=dt/[-senf(x)][f’(x)] , reemplazando estas sustituciones en el integral tenemos que: ∫[senf(x)/cosf(x)]f'(x)]dx= ∫[senf(x)/t][ f'(x)][(dt/[-senf(x)][f’(x)]) = ∫-[dt/t] , como vemos esta integral es conocida y su valor es: ∫-[dt/t] = -ln|t|+C , muchos pensarían que este sería el resultado de la integración pero no lo es, debemos regresar nuevamente a la variable original esto se logra sustituyendo la t en términos de x, tenemos entonces que el resultado final de la integración es: ∫[tanf(x)][ f'(x)]dx = -ln|cosf(x)|+C. En el video se muestran problemas resueltos donde se aplica esta fórmula con el fin de hallar rápidamente una integral que en un principio parece mucho más complicada de resolver.
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