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Lección 43

Integral de la función cosecante

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Integral de cosecante de una función por la derivada de dicha función.

El resultado de dica integral es logaritmo natural de la diferencia entre cosecante y cotangente de la función.

Este resultado no se obtiene a través de la derivación inmediata de una función conocida, es por ello que este video se muestra una forma muy particular para llegar a este resultado.

El video contiene varios ejemplos de uso de esta fórmula y como mediante transformaciones podemos llevar a una función a la forma de esta y aplicarla.

En este video vamos a aprender a encontrar la integral de la función cosecante cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno, en este video veremos una forma muy particular para llegar entonces a la expresión de la antiderivada. La fórmula nos dice lo siguiente: ∫[cscf(x) ][f' (x) ]dx= ln|cscf(x)-cot(x)|+C. Para llegar a esta fórmula se parte de la integral de la cosecante de la función que multiplica a la derivada de la función, el artilugio que se empleara es multiplicar y dividir por cosecante de la función menos cotangente de la función, como vemos esta nueva integral tiene la forma: ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx y sabemos que se integra como ∫[(g' (x))/g(x) ]dx = ln|g(x)| + C, observemos que en este caso g(x)=cscf(x)-cotf(x) y que g’(x)=-cscf(x)cotf(x)f’(x)+ csc^2f(x)f’(x), si factorizamos esta expresión tenemos que: g’(x)=cscf(x)f’(x)[-cotf(x)+cscf(x)], observemos que esta es la derivada del denominador y que se encuentra en el numerador y que por lo tanto queda demostrada la fórmula a la que queríamos llegar, veamos la integral más simple que se genera a partir de esta fórmula y que es ampliamente utilizada en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫[csc(x) ]dx = ln|cscx-cotx| +C ya que ya que f(x)= x y f’(x)=1, a partir de lo que se viene viendo en los videos anteriores observemos que podemos deducir fácilmente el resultado de la integral cuando tengamos un ángulo compuesto, es decir: ∫[csc(ax) ]dx =(1/a) ln|csc(ax)-cot(ax)| +C. En el video se muestran varios problemas que muestran como usar esta fórmula y se ve como en algunos se deben hacer transformaciones para llegar a aplicar esta ecuación.
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