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Lección 47

Integral de cotangente hiperbólica

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Integral indefinida de cotangente hiperbólica de una función por la derivada de dicha función.

El resultado es el logaritmo natural del seno hiperbólico de dicha función.

En este video se muestran varios ejemplos de uso de la fórmula hallada partiendo por el más simple : Integral de cotangente hiperbólica de x.
Luego se resuelven ejemplos mas complejos donde la transformación y el cambio de variable se hacen necesarios
En este video vamos a aprender a encontrar la integral de la función cotangente hiperbólica cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, sin embargo existe un problema con esta función y es que no podemos hacer una deducción tan fácil como la que hicimos con las funciones seno y coseno a partir de la derivación. Entonces, para deducir esta fórmula partimos del hecho de que la cotangente se puede expresar como una función del seno y del coseno, entonces si lo que queremos hallar es una expresión para ∫cothf(x) f'(x)dx podemos expresar esta misma integral como: ∫[coshf(x)/senhf(x) ]f'(x)dx, como vemos esta nueva integral tiene la forma: ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx y sabemos que se integra como ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx = ln|g(x)| + C, observemos que en este caso g(x)= senhf(x) y que g’(x)= coshf(x), por lo tanto decimos que ∫cothf(x) f'(x)dx〗 = ln|senhf(x)|+ C. 

Sin embargo hay otro procedimiento para llegar a este mismo resultado, y es partiendo de la integral ∫[coshf(x)/senhf(x) ]f'(x)dx, para solucionar esta integral utilizaremos el cambio de variable t= senhf(x), escogemos este cambio de variable según las recomendaciones dadas en los videos anteriores para el método de la sustitución, en los cuales nos aconsejan escoger funciones que se encentren en el denominador, entonces si derivamos a t con respecto a x tenemos que dt/dx=[coshf(x)][f’(x)], y al despejar dx tenemos que: dx=dt/[cosh(x)][f’(x)], reemplazando estas sustituciones en el integral tenemos que: ∫[coshf(x)/senhf(x) ]f'(x)dx〗 = ∫[coshf(x)/t][f'(x)dt/coshf(x)][f’(x)]) = ∫[dt/t], como vemos esta integral es conocida y su valor es: ∫[dt/t] = ln|t|+C , muchos pensarían que este sería el resultado de la integración pero no lo es, debemos regresar nuevamente a la variable original esto se logra sustituyendo la t en términos de x, tenemos entonces que el resultado final de la integración es: ∫cothf(x) f'(x)dx= -ln|senhf(x)|+C. En el video se muestran problemas resueltos donde se aplica esta fórmula con el fin de hallar rápidamente una integral que en un principio parece mucho más complicada de resolver.
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