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Lección 45

Integral de coseno hiperbólico

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Integral indefinida de coseno hiperbólico de una función.

El resultado de dicha integral es seno hiperbólico de la función lo cual se deduce fácilmente de la derivada de esta función.

En el video se muestran ejemplos de distinta índole de complejidad ya que no siempre es posible vislumbrar que nos encontramos frente a este tipo de integral (denominada por algunos como una integral inmediata) y se muestra el caso particular en que la derivada de la función sea una constante.

En este video vamos a aprender a encontrar la integral de la función cosecante cuando se encuentra multiplicada por la derivada del ángulo, en este caso el resultado de la integral es inmediata ya que partimos de la derivación de funciones que ya habíamos visto anteriormente, tenemos que d/dx[senhf(x)] = coshf(x)f’(x), lo que quiere decir que la primitiva de la función: coshf(x)f’(x) es senhf(x) y por lo tanto podemos decir que: ∫coshf(x)f’(x)dx = senhf(x) + C, veamos la integral más simple que se genera a partir de esta fórmula y que es ampliamente utilizadas en las matemáticas e ingeniería, tenemos entonces que: ∫cosh(x)dx = senh(x) + C ya que ya que f(x)= x y f’(x)=1. 

Veamos algunos problemas de mayor complejidad para la aplicación de esta fórmula que acabamos de deducir, nos piden entonces hallar el resultado de la siguiente integral:∫cosh(3x)dx, como vemos en este caso f(x)=3x y f’(x)= 3, es decir no tenemos la función multiplicada por la derivada de la función, entonces el artilugio que debemos hacer es multiplicar y dividir por 3 de tal manera que reescribamos la integral como: ∫cosh(3x)dx =(1/3) ∫3[cosh(3x)]dx, ahora podemos aplicar la fórmula y obtener: (1/3) ∫3[cosh(3x)]dx = (1/3) senh(3x)+C, a partir de este ejemplo podemos deducir fácilmente el resultado de la integral cuando tengamos un ángulo compuesto, es decir que: ∫cosh(ax)dx =(1/a)senh(ax) + C, entoces si por ejemplo nos piden hallar el resultado de la siguiente integral: ∫cosh(2x-3)dx sabremos fácilmente que su resultado es: ∫cosh(2x-3)dx = (1/2)senh(2x-3) + C. En el video se muestran algunos problemas más que muestran como usar esta fórmula y se ve como en algunos se deben hacer transformaciones aún más complejas para llegar a aplicar esta ecuación.
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