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Lección 59

Integración recurrente y la integración por partes

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Método de Integración recurrente para una integral recurrente.

Se muestra como es posible utilizar un algoritmo para calcular una integral por partes en los casos en que se tenga una función algebraica extinguible o en el caso en que se tenga el producto de una función trigonométrica por una exponencial.

Se resuelven tres integrales: x al cuadrado por seno de 2x; e la x por coseno de x y e la x por seno de 2x para mostrar cada uno de los casos.

En este video aprenderemos un método que nos permite agilizar la integral por partes para unos casos muy específicos. El primer caso que vamos a analizar es cuando tengamos la integral de una función algebraica multiplicada por una exponencial, o en el caso de que tengamos una función algebraica contra una función trigonométrica. Este método lo vamos a denominar como integración por partes iterativas. Para comparar su uso, vamos a resolver la integral de una función algebraica por una exponencial utilizando integración por partes, y luego mediante la integración por partes iterativas para comparar su uso. Con el antiguo método, utilizábamos el LIATE para escoger u y dv, y solucionar la integral por partes. Mediante integración por partes iterativas haciendo “u” nuevamente la expresión algebraica y dv la exponencial. Derivamos y sustituyendo vamos a encontrar la respuesta final para nuestra integral. 

Durante este proceso nos dimos cuenta que en el momento en que escogimos a u como x al cuadrado y seguíamos derivándola vamos a extinguir dicha función. Siempre al final quedamos integrando a “v” porque “du” se extinguió haciéndose dx. Cuando esto suceda es más fácil que estar escribiendo todas las partes utilizar el siguiente algoritmo para llegar a la respuesta de una forma más rápida: Una alternativa para ello es hacer un par de columnas que llamaremos “u” y “v”. Debajo de la columna “u” vamos a poner siempre la algebraica y como “v” la exponencial, es decir, las dos funciones que se están multiplicando. Acabamos de decir que “u” se extingue, es decir, vamos a derivarla hasta que se haga cero, observando que da un cierto numero de filas. Para “v” lo que hacemos es integrar continuamente la función hasta alcanzar el numero de filas en “u”. 

Luego trazamos unas diagonales y vamos colocando los signos intercalados. Ahora bien, lo que hacemos es multiplicar la función en “u” por la función que estamos conectando con la diagonal en la otra columna. Finalmente realizamos el producto y al final sumamos C. Se obtiene la misma respuesta que utilizando integración por partes de la forma tradicional de una manera mucho más rápida. Recordemos que el método es conveniente siempre y cuando una de las funciones sea extinguible (es decir que podamos sucesivamente hasta que de igual a cero). Uno de los problemas que tenemos a la hora de utilizar el método es en ocasiones tener clara las integrales. En el video se desarrollan ejemplos de la derivación por partes iterativas para diferentes casos, resolviendo las integrales de x al cuadrado por seno de 2x, también e a la x por coseno de x, y por último resolvemos la integral de e a la x por seno de 2x.
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