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Lección 53

Integración por partes (ejemplos parte 1)

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Ejemplos del uso del método de integración por partes.

Se resuelven por partes las integrales de tangente inversa de x, x por seno de x y x^2 por seno de x.

Para los tres ejemplos se recalca lo útil de usar LIATE a la hora de seleccionar la u.

En este video veremos un problema donde hallaremos la solución de una integral utilizando para ello la técnica de integración por partes, recordemos que los que nos dice esta técnica es que si tenemos la integral de una función u multiplicada por la derivada de una función v el resultado será u que multiplica a v menos la integral de la función v que multiplica la derivada de la función u, es decir: ∫udv = uv-∫vdu, recordemos también que el éxito de este método radica en la elección de la función u y la elección de la función v y que en videos anteriores decíamos que el mejor criterio de selección de la función u era seguir el mecanismo LIATE (logarítmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales). 

El problema que nos proponen desarrollar el siguiente: Resolver la siguiente integral: ∫tan^-1(x)dx, como vemos en la integral no hay funciones logarítmicas, pero si hay funciones inversas por lo tanto escogemos a u= tan^-1(x) y por lo tanto dv es lo que queda, es decir dv =dx, tenemos a su vez que du= (1/1+x^2)dx y v= x, como ya tenemos todos los elementos para emplear la integración por partes, procedemos a reemplazar estos resultados en la fórmula obteniendo que: ∫〖tan^-1(x)dx =[ tan⁡^-1(x)][x]-∫x (1/1+x^2)dx, como vemos la integral del lado derecho de la igualdad es un integral que ya hemos resuelto ya que es de la forma: ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx y sabemos que se integra como ∫[(g^' (x))/g(x) ]dx = ln|g(x)| + C, entonces utilizando esta fórmula finalmente obtenemos que el resultado final de la integral es: ∫tan^-1(x)dx =[x][ tan^-1(x)]-(1/2) ln|1+x^2| + C. Cabe anotar que la integral del lado derecho de la igualdad pudo haber sido resuelta igualmente empleando el método de sustitución, en el video se muestra de manera detallada como se llega a la misma respuesta resolviendo la integral de la derecha mediante la sustitución.
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