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Lección 91

Integración por Fracciones Parciales 3

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Se explica cómo resolver una integral por el Método de Fracciones Parciales mediante un ejemplo con factor lineales donde uno de ellos tiene multiplicidad 2.

En este video veremos un problema donde solucionaremos una integral impropia empleando el método de integración por fracciones parciales, el problema propuesto es el siguiente: Resolver la siguiente integral: ∫[(2x^2-7x+9)/(x^3-3x^2+4)]dx, para resolver este problema mediante fracciones parciales lo primero que debemos hacer es verificar si el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador con el fin de que el método pueda ser aplicado, como vemos el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador ya que el grado del denominador es 3 mientras que el del numerador es 2, una vez que hemos verificado esto factorizamos al denominador, como vemos es posible factorizar al denominador mediante el uso de la división sintética, de tal manera que la integral queda expresada de la siguiente manera: ∫[(2x^2-7x+9)/(x^3-3x^2+4)]dx = ∫[(2x^2-7x+9)/((x-2)(x^2-x-2))]dx, como podemos observar, podemos factorizar el trinomio presente en el denominador por tanteo con lo que tenemos que: ∫[(2x^2-7x+9)/((x-2)(x^2-x-2))]dx = ∫[(2x^2-7x+9)/((x-2)(x-2)(x+1))]dx una vez que hemos factorizando la expresión lo que debemos hacer es expresarla como una suma de fracciones parciales , de tal manera que: (2x^2-7x+9)/((x+1)(x-2)^2) = A/x+1+ B/(x-2)+ C/(x-2)^2, ó en términos más simples: 2x^2-7x+9 = A(x-2)^2+ B(x+1)(x+2)+ C(x-2) , ahora lo que debemos hacer es hallar los valores de A, B y C, vemos que si le damos valores a las x de x=-1 y x=2 obtenemos valores de A =2, B=0 y C= 1, reemplazando estos valores en la integral, obtenemos: ∫[(2x^2-7x+9)/(x^3-3x^2+4)]dx = ∫[2/x+1+1/(x-2)^2]dx como vemos esta nueva integral se puede solucionar mediante las fórmulas que hemos deducido a lo largo de esta serie de videos, ya que se puede resolver como una integral inmediata, tenemos entonces que el resultado final de la integración es: ∫[(2x^2-7x+9)/(x^3-3x^2+4)]dx = 2ln|x+1|-2(x-2)^-1 + C.
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