Integración mediante fracciones parciales ejemplo 4

Técnicas de Integración:Cuarto ejemplo del uso de las fracciones parciales para encontrar la integral indefinida de una función racional.
 
En este ejemplo se encuentra la primitiva de 2 sobre x^2(x^2+x+1).

En el denominador se tiene un factor lineal de multiplicidad 2 y un factor cuadrático no factorizable en los reales.

Este video es el cuarto de una serie de ejemplos del uso de las fracciones parciales para encontrar la primitiva de una función racional. En este caso vamos a integrar 2 dividido entre x^2(x^2+x+1). Lo primero que debemos verificar son las dos condiciones que nos permiten utilizar el método. La primera es que el numerador sea de grado inferior al denominador. Y la segunda condición nos dice que el denominador debe ser factorizable. Como vemos en el ejemplo las dos condiciones se cumplen. Ahora, la pregunta que debemos hacernos es si la expresión que está en paréntesis en el denominador se puede factorizar. En este caso esta expresión no es factorizable en los reales. Reescribimos la expresión para ver qué tenemos para encontrar las fracciones parciales para esta expresión racional. 

Hecho esto nos damos cuenta que tenemos un factor lineal de multiplicidad dos, y un factor cuadrático no factorizable. Dado el caso que tengamos un factor lineal de una multiplicidad n, vamos a escribir n coeficientes. Y para el factor cuadrático no factorizable escribimos una ecuación lineal sobre dicho factor cuadrático. Para encontrar el valor de las constantes asignadas podemos formar un sistema de ecuaciones, pero en este video preferimos resolver la suma que tenemos y buscar los valores para x que nos cancelen las expresiones y resolvemos el sistema que se nos genera. 

Cuando hayamos encontrado los valores los sustituimos en la integral y nuestro problema de encontrar la primitiva se resume en encontrar o resolver varias integrales más sencillas y sumar sus resultados al final. En las integrales nuevas o parciales que se nos genera no podemos utilizar de nuevo el método de fracciones parciales, para lo cual buscamos tranformar dicha integral en dos, en la que una de ellas sea la derivada de una función sobre la función. En este ejemplo también se hace necesario utilizar la sustitución trigonométrica para solucionar una de las integrales parciales.