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Lección 84

Integración mediante fracciones parciales ejemplo 1

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Dado que ya estudiamos los conceptos básicos de la utilización de fracciones parciales para resolver una integral, vamos a utilizarlos para resolver una integral indefinida que tiene un cociente de polinomios, con un polinomio de grado mayor en el numerador. Cuando esto sucede no podemos utilizar fracciones parciales inmediatamente, sino que debemos realizar la división. Recordemos que cuando los grados son iguales debemos realizar también la división. Para hacer la división debemos emplear conocimientos de álgebra. Una vez hecha la división escribimos de nuevo la integral. Recordemos que habíamos dicho que si tenemos la división de un polinomio p(x) sobre uno q(x), esto es igual a c(x) más r(x) sobre q(x).La integral resultante puede ser realizada mediante fracciones parciales ya que la expresión del denominador es factorizable y que el polinomio del numerador es de grado inferior al denominador. Lo primero que debemos hacer es factorizar el denominador. 

Como la expresión que nos resulta tiene dos factores lineales en el denominador, simplemenet en los numeradores ponemos una constante sobre cada uno de los factores. Como las fracciones resultantes tienen igual denominador en cada lado de la ecuación, podemos omitirlos. Cuando estemos utilizando fracciones parciales siempre vamos a llegar a ese tipo de expresiones donde sólo sea necesario igualar los numeradores de la suma. Para encontrar A y B podemos asignar valores arbitarios, seleccionados de forma conveniente tal que haga que se anule parte de la expresión para poder encontrar los valores fácilmente. Finalmente, para integrar la expresión dada inicialmente, debemos integrar la suma resultante de la transformación hecha, para lo cual podemos separar las integrales y realizarlas de manera sencilla una a una utilizando propiedades de la integral. En nuestros próximos videos se realizan ejemplos sobre cómo utilizar fracciones parciales para encontrar la primitiva de una función.
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