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Lección 108

El método Alemán para integrales irracionales parte 2

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Técnicas de integración: Uso del método alemán para encontrar la primitiva de una función irracional de la forma p(x) sobre la raíz de una función cuadrática de la forma ax^2+bx+c donde p(x) es un polinomio de grado n mayor igual a 1.

En este ejemplo se encuentra la integral de x^2-1 sobre la raíz cuadrada de x^2+2x+3.

Este video hace parte de la explicación del uso del método alemán para resolver integrales de funciones irracionales. Recordemos que el método alemán nos exige que en el numerador del cociente siempre tengamos un polinomio de grado mayor o igual a 1, y que en el denominador tengamos la raíz cuadrada de una función cuadrática. En este video se muestra cómo aplicar el método alemán para encontrar la integral de x^2-1 sobre la raíz cuadrada de x^2+2x+3. Como vemos las dos condiciones para utilizar el método se cumplen. El método nos dice que también que dicha expresión se puede mostrar como la derivada con respecto a x de una función de x por la raíz del denominador, donde esa función de x que llamábamos Q de x es un polinomio de grado inferior al que tenemos en el numerador. 

Observemos que en el numerador tenemos un polinomio de grado 2, entonces en la derivada debemos tener uno de grado 1, que consiste en una función lineal, multiplicada por la raíz, y a esto se le adiciona la función K sobre la raíz. Debemos entonces proceder por encontrar los coeficiences, es decir, los valores de A,B y K, y una vez los tengamos vamos a poder integrar. Observemos que al integrar la derivada, esta se va a cancelar y solamente nos queda el producto. Luego, solo nos va a quedar la integral de K sobre alguna expresión, forma que nos va a quedar siempre que usemos el método alemán. Para encontrar A,B, y K, podemos darle valores arbitrarios y convenientes a x, para formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Los valores asignados son aquellos en los que la expresión se anule de forma que podamos despejar y encontrar los valores. Como vemos, una parte de la integral, que es la integral de la derivada, es igual esa parte de la función. Lo que nos resta es encontrar entonces la integral de K dividida por otra expresión.
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