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Lección 138

Deducción de la fórmula de longitud de arco

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Deducción intuitiva de la fórmula que existe para encontrar la integral de arco de una curva usando la integral definida.

Dentro de las tantas aplicaciones de la integración definida encontrar la longitud de arco de una curva en coordenadas polares es una de las importantes.

Cabe aclarar que no siempre es posible usar la fórmula ya que muchas veces la integral que se genera no tiene primitiva y por tanto debe usarse series de potencia u otro método de aproximación

En este video se deduce intuitivamente una de las fórmulas más importantes que existen en la aplicación de la integral definida, que es la fórmula para encontrar la longitud de arco de una curva cualquiera y=f(x) en un intervalo a,b. La fórmula nos dice que la longitud de arco es igual a la integral entre a y b, de la raíz cuadrada de 1 más la derivada de la función al cuadrado, por el diferencial de x. Recordemos qué es el concepto de longitud de curva, que es un concepto similar que decimos para figuras simples como es el perímetro. En el caso de un cuadrado de lado L, el perímetro sería igual a 4 L. El perímetro de una circunferencia de radio r, decimos que la longitud es como si desenvolviéramos dicha circunferencia, obteniendo como resultado de su longitur a 2pi por r. 

Dicho esto podemos comenzar con la deducción de la fórmula pensando en ese concepto aplicado en una función cualquiera, particionandola, y aproximando. Para aproximar podemos partir la curva en varios puntos L1, L2, L3, L4… podemos decir que su suma se aproxima a la longitud de la curva. Si se quiere obtener una aproximación más cercana hacer una mejor partición, es decir, realizar más particiones. Debemos particionar de tal forma que el ancho del intervalo que tenemos, sea casi igual a cero. Si observamos qué sucede en un solo intervalo de la curva, y trazamos dos rectas que formen un triángulo rectángulo, su ancho sería igual a la variación de x o delta de x que para todos los fragmentos es igual, dado que dividimos en partes iguales. 

Observemos que en y también tenemos un cambio de altura, el cual llamamos delta de y. Si abstraemos el triángulo y le sobreponemos un fragmento de curva, denominado como diferencial de área o dL. Tenemos también en el triángulo un delta de L, el cual podemos acercar al diferencial de L haciendo que delta de x sea más pequeño. Utilizando Pitágoras podemos deducir el cuadrado de la hipotenusa, que en este caso es delta de L, y de allí despejar la variación de L respecto a x, cuando delta de x se hace casi cero.
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