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Lección 170

Centro de masa de una región plana (centroide) ejemplo 3

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Aplicaciones de la integral definida.

Centro de masa de una región plana. Ejemplos resueltos del cálculo del centroide para una superficie formada por dos curvas
En este ejemplo se encuentra el centroide de la región formada por las curvas y=x y y=x^2.

Las fórmulas antes vistas no pueden usarse paras las coordenadas x e y lo cual conlleva mostrar un procedimiento para afrontar este tipo de problemas.

Este video es el tercer ejemplo de una serie en la que se muestra cómo hallar el centro de masa de una región plana. A continuación vamos a encontrar el centroide de la región formada por la recta y=x y la parábola y=x^2. Tenemos entonces para la recta la notación f(x) y para la parábola g(x). Lo primero que debemos tener presente es dónde se cortan las curvas, igualando f(x) y g(x), y solucionando la ecuación con la fórmula para ecuaciones cuadráticas o factorizando para hallar sus raíces. Una vez tenenos los puntos podemos encontrar el centroide, con la fórmula que ya teníamos para encontrar la coordenada en x, y otra para la y. 

Como en este caso tenemos dos funciones debemos repensar lo que quiere decir la fórmula. En ella tenemos la suma de momentos en y, sobre el área. En este ejemplo podemos utilizar la fórmula para resolver dicho centroide, debemos tener claro que lo que necesitamos encontrar es el área que hay entre las dos curvas, es decir que la integral sencilla no nos sirve porque solo tiene a f(x), y tenemos también a g(x). También tenemos que encontrar la suma de momentos, pero ella no es más que la distancia x que hay multiplicada por la f(x)dx que no es más que el área de un diferencial, y sumamos todos los rectángulos que hay entre a y b. Calculamos primero el área que en nuestro caso es la integral que va desde cero hasta uno, ahora, el área del rectángulo es igual a altura superior o x, por la altura inferior o x2, multiplicado por el ancho del rectángulo que es dx. Luego integramos y evaluamos en los límites de la integral para encontrar el área. Para hallar los momentos en y, es igual a x por la fórmula de área del rectángulo. Luego procedemos a hallar el momento en x.
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