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Lección 21

Cálculo del área bajo una curva por integración ejemplo 5

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Ejemplo del cálculo bajo una curva a través del uso de la integral definida.

En este caso se encuentra el área de la función logaritmo natural de x con respecto al eje y entre las rectas y=1 y y=3. De forma análoga al ejemplo anterior se toma el diferencial de forma horizontal haciendo uso del diferencial de y en lugar del diferencial de x para resolver de una forma más simple el problema.

En este video vamos a usar el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la curva de la siguiente función: f(x)=ln(x) con respecto a eje y entre las líneas y=1 y y=3. Recordemos que lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es el área bajo una curva se puede hallar mediante la integración de la función en donde el resultado del área es igual a la primitiva de la función evaluada en el límite superior menos la primitiva de la función evaluada en el límite inferior, es decir, ∫f(x)dx= F(b)-F(a), notemos que en este caso lo que nos piden es el área entre las rectas y=1 y y=3 lo que nos indica que debemos trazar rectángulos en forma horizontal lo que implica expresar la integral en términos del diferencial y, además, debemos también expresar la función en términos de y, entonces lo que debemos hacer es despejar la x de nuestra función, vemos que al despejar a x de nuestra función tenemos que x=e^y, entonces el área de esta función entre las rectas pedidas se puede obtener de la siguiente manera: A= ∫〖e^y dy〗 evaluada entre 1 y 3, aplicando las propiedades de la integral definida tenemos entonces que el área es: A= ∫〖e^y dy〗= e^y evaluada entre 1 y 3, entonces evaluando la función, tenemos que A=∫〖e^y dy〗= e^3-e^1. Se deja que el estudiante calcule esta expresión utilizando calculadora para ello.
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