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Lección 19

Cálculo del área bajo una curva por integración ejemplo 3

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Ejemplo del cálculo bajo una curva a través del uso de la integral definida.

En este caso se encuentra el área de la función valor absoluto de x-2 entre 0 y 3.

La función primero se redefine ya que estamos hablando de una función a tramos y luego se integra cada uno de los tramos de acuerdo al intervalo.

En este video vamos a usar el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la curva de la siguiente función: f(x)=|x-2| con xϵ[0,3]. Recordemos que lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es el área bajo una curva se puede hallar mediante la integración de la función en donde el resultado del área es igual a la primitiva de la función evaluada en el límite superior menos la primitiva de la función evaluada en el límite inferior, es decir, ∫f(x)dx= F(b)-F(a), notemos que en este caso estamos hablando de una función con valor absoluto que es una función por tramos por lo que tenemos que redefinir la función de una manera apropiada para resolver nuestro problema, observemos que la función queda redefinida de la siguiente manera: la función f(x) toma el valor de –x+2 para valores de x<2 y toma el valor de x-2 para valores de x≥2, una vez que hemos redefinido la función lo que debemos hacer es graficar la función tal y como se muestra en el video, esta gráfica nos hacer ver que el área bajo la curva es el área de la función –x+2 para valores entre 0 y 2 más el área de la función x-2 para valores entre 2 y 3, es decir A= ∫〖|x-2|dx evaluada entre 0 y 3 es igual a: ∫〖-x+2dx〗evaluada entre 0 y 2 más ∫〖x-2dx〗evaluada entre 2 y 3, entonces si aplicamos las propiedades de la integral definida, tenemos que: ∫〖-x+2dx〗 = -(1/2)x^2+2x, evaluando entre 0 y 2 tenemos que: ∫〖-x+2dx〗 = [-(1/2)2^2+2(2)-[ -(1/2)0^2+2(0)] = 2, y ∫〖x-2dx〗 =(1/2)x^2+2x, evaluando entre 2 y 3 tenemos que: ∫〖x-2dx〗 =[(1/2)3^2+2(3)]-[ (1/2)2^2+2(2)] = 1/2, entonces el área total bajo la curva es A=2+1/2 =5/2.
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