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Lección 118

Área del círculo mediante integración

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Aplicación de la integral definida: Deducción del área de un circulo mediante integración partiendo de la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de un eje de coordenas xy.

Mediante una integral definida se llega a la conclusión de que el área del círculo es pi por radio al cuadrado

Cuando hablamos de la integral definida, hablamos de su principal aplicación que es el cálculo de áreas bajo una curva. Entendido que el área bajo una curva se puede resolver con una integral definida, vamos a encontrar entonces el área de un círculo. Todos sabemos que el área de un círculo es pi por radio al cuadrado, y vamos a ver de dónde nace esto utilizando el cálculo integral. Para comenzar ubicamos una circunferencia en nuestro eje de coordeadas “x” y “y”. Decimos entonces que podemos ubicar nuestra circunferencia centrada en el origen, y la ecuación para una circunferencia de este tipo es igual a x^2 + y^2 = r^2. Con esto podemos encontrar entonces quién es “y”, tanto las imágenes positivas y las imágenes negativas. Observemos que la circunferencia no es una función sino una relación. 

Pensemos por un momento en una cuarta parte de dicho circulo, la cual encontrada su área, podríamos multiplicarla por 4 y encontrar el área total, debido a que es una figura simétrica. Dibujamos un rectángulo cualquiera diferencial de área, donde el espesor o ancho esd x, y la altura es la imagen f(x) o “y”. El diferencial de área, o área del pequeño rectángulo es igual a “y” por dx. Vamos a decir entonces que el área de un cuarto del circulo es igual a la integral de cero hasta r, de ydx. Vemos que ya teníamos y despejada con anterioridad. Como es solo un cuarto, y nos interesa el área total del círculo, el área total sería entonces lcuatro veces la integral de cero a r, de raíz cuadrada de (r^2-x^2), por dx. Y si resolvemos dicha integral resolvemos el problema. Como dicha integral no es una integral inmediata, primero encontramos la primitiva y luego vamos a evaluar los límites. Para encontrar la primitiva utilizamos la técnica ya conocida de la sustitución trigonométrica.
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