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Lección 178

Área de una superficie de revolución (teorema de pappus) ejemplo 1

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Ejemplo resuelto de Cálculo del área de una superficie de revolución utilizando el teorema de pappus.

En este problema se encuentra el área de la superficie generada al hacer girar con respecto a una recta que pasa por los puntos (0,-1) y (4,0) un cuadrado de lado 2 unidades y centrado en (2,4).

El problema nos permite repasar conceptos tales la ecuación de una recta dados dos puntos y la fórmula de distancia para una recta y un punto.

Este video es el primero de una serie de ejemplos en los que se muestra cómo utilizar el teorema de Pappus para encontrar el área de una superficie de revolución. En este caso se encuentra el área de una superficie de revolución que se genera al hacer rotar un cuadrado de lado 2, respecto a una recta que pasa por los puntos (0,-1) y (4,0), utilizando el teorema de Pappus, ya que no podemos utilizar la fórmula que vimos para encontrar el área de una superficie de revolución ya que esta exige que el eje de giro sea el eje x o y, o una recta paralela a ellos. Mediante el teorema de Pappus, vemos que el área de nuestra superficie es igual a la longitud de arco de la curva o perímetro del cuadrado, que multiplica a la distancia que va a recorrer el centro de masa o centroide cuando lo hacemos girar alrededor de nuestro eje de giro. Luego, podemos afirmar que para figuras como el rectángulo o placas rectangulares, el centroide se ubica en la mitad del ancho y del alto (en este caso el centroide está en el punto 2,4). 

Dicho centroide tiene una distancia respecto a la recta, y si hacemos que gire respecto a ese eje, se genera una circunferencia. La distancia recorrida entonces es la longitud de la circunferencia que es igual a 2pi por la distancia que hay del punto a la recta, conocido como R. Para resolver nuestro problema necesitamos entonces encontrar a R y calcular nuestro producto. Para encontrar a R mayúscula necesitamos entonces conocer la ecuación de la recta que une ese par de puntos. Utilizamos entonces la fórmula de la ecuación de la recta cuando tenemos dos puntos. Una vez hallada la ecuación de la recta, buscamos expresarla de forma canónica, es decir, ax+by+c, ya que de esta forma es que se utiliza en la fórmula de la distancia entre una recta y un punto. Luego, la distancia es igual al valor absoluto de evaluar los puntos en esa ecuación, sobre la raíz cuadrada de a al cuadrado mas b al cuadrado. Finalmente, conociendo todos los elementos de la fórmula del área de la superficie, procedemos a sustituir.
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