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Lección 124

Área de una rosa de cuatro pétalos (curva en coordenadas polares)

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Deducción de una fórmula para el área encerrada por la curva en coordenadas polares r=acos(2t) conocida como la rosa de cuatro pétalos
El área de esta curva se encuentra mediante la integral definida 8 veces un medio de la función al cuadrado entre los límites de integración 0 y pi cuartos.

A continuación se encuentra el área encerrada bajo la curva conocida como la rosa de cuatro pétalos. La cual se define en coordenadas polares mediante la ecuación r=acos(2t). Para encontrar el área en coordenadas polares hemos dicho que el área es igual a un medio de la integral que va desde theta 1 hasta theta 2, de f de theta al cuadrado por el diferencial de theta, donde f de theta al cuadrado no es más que el radio al cuadrado. Dicho esto, este problema podemos resolverlo pensando que en la figura tenemos ocho áreas iguales, y si encontramos el área de una de ellas y multiplicamos por ocho, vamos a encontrar el área total de la rosa de cuatro petalos. Vamos a decir entonces que el área es igual a ocho veces un medio de la integral de a por coseno de dos theta al cuadrado, por el diferencial de theta. Para la porción que nos interesa, podemos ver que el theta 1 es cero, y que theta 2 es igual a pi/4. Para encontra el área entonces lo único que debemos hacer es resolver dicha integral.
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