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Lección 10

Área bajo una curva y las sumas de Riemann parte 1

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Área bajo una curva mediante la sumas de riemann (concepto general).

Se parte de una función cualquiera y se muestra como mediante el límite de una suma se puede expresar el área debajo de una curva.
Se particiona el área usando inicialmente rectángulos del mismo ancho, los cuales se suman, para aproximar el área. Luego mediante un límite se establece el área exacta asumiendo que dicha partición se infinitas veces.

No solo se ilustra la fórmula general sino que también se muestra con un ejemplo sencillo como utilizarla.

En este video se explica cómo hallar el área bajo un curva mediante el método de las sumas de Riemman. En un par de videos anteriores habíamos mostrado cómo calcular el área bajo una curva, específicamente para la curva x^2/2 en el intervalo 1 y 3. En este vamos a mostrar cómo encontrar el área bajo una curva para cualquier caso mediante las sumas de Riemman. Para hacerlo partimos de una función cualquiera y=f(x) y que nos interesa encontrar el área entre a y b. Habíamos dicho que podemos ir aproximando el área y luego llegar al área exacta a través de un límite. Recordemos que para aproximar el área podemos pintar un número de rectángulos n, que su suma va a ser el área aproximada bajo la curva (en este ejemplo las alturas las ubicamos en la derecha). 

También sabemos que el ancho de cada rectángulo es igual, y que ese valor lo denominamos delta de x. La altura es f evaluado en cada punto. Los puntos serían “a” más las veces que se multiplique delta de x, hasta el número de rectángulos que hacemos (n). En el caso de que sean n rectángulos podemos decir que el área es aproximada al área del primer rectángulo que es la altura por el ancho. Observemos que la altura es la imagen de f(a) mas las veces que se tenga delta de x, multiplicado por el ancho que es delta de x. Luego, podemos decir que el área es la sumatoria desde i=1 hasta n, de la imagen de “a” mas i delta x, por delta de x. Esta forma de expresar el área aproximada depende de n, y para encontrar una aproximación más precisa del área, conviene que n sea mayor. Delta de x es igual a b-a dividido n. Ahora bien, podemos decir que el área es igual al límite cuando n tiende a infinito, de “f” de “a” más i veces delta de x, multiplicado por delta de x, teniendo en cuenta que la sumatoria va desde i=1, hasta n. Al final del video se ilustra con ejemplos la manera de hallar el área utilizando este método en el cual ya no es necesario realizar la gráfica.
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