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Lección 9

Área bajo una curva parte 2

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Segundo video: Introducción al concepto de área bajo una curva utilizando como ejemplo la función f(x)=x^2/2 en el intervalo 1 y 3
Finalmente se encuentra el área exacta debajo de la curva utilizando el concepto de límite de una suma considerando que el límite tiende a infinito ya que estamos introduciendo infinitos rectángulos de ancho casi cero.

En el video anterior tratábamos de mostrar como hallábamos el área bajo una curva utilizando como ejemplo la función f(x) =x^2/2 en el intervalo entre 1 y 3, y como aproximación veíamos que si formábamos rectángulos tal y como se muestra en la figura el área estaba entre 3.375<A<5.375 cuando tomábamos 4 rectángulos y que estaba entre 3.844<A<4.844 cuando tomábamos 8 rectángulos, entonces la pregunta que buscamos responder en este video es como podemos hallar el área o como nos podemos aproximar cada vez más al valor real de esta área, para responder esta pregunta usaremos el concepto de límite, digamos que por definición el ancho de cada rectángulo es ∆x=(3-1)/n donde 3 y 1 son los valores extremos entre los cuales me interesa hallar el área de la función y n es el numero de divisiones que hare en este intervalo, vemos que el área de cada rectángulo es la base multiplicada por la imagen de esta base tal y como se muestra en la figura del video, entonces si sumamos todos los rectángulos que estamos formando podríamos acercarnos cada vez más al área bajo la curva de esta función, matemáticamente esto se representa como: A=∑f[(1+i(2/n)](2/n) con la sumatoria entre 1 y n, observemos que si n se hace muy grande, es decir tiende a infinito los rectángulos que se obtienen representan mejor el área existente bajo la curva, entonces decimos que el área bajo la curva es simplemente lim(x→∞)∑f[(1+i(2/n)](2/n). En el video se muestra de manera detallada paso por paso como se aplican propiedades de la sumatoria para hallar finalmente el límite de toda la sumatoria y por consiguiente el área bajo la curva en el intervalo de interés.
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