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Lección 8

Área bajo una curva parte 1

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Primer video: Introducción al concepto de área bajo una curva utilizando como ejemplo la función f(x)=x^2/2 en el intervalo 1 y 3
Se parte por aproximar el área mediante partición del área con rectángulos de igual ancho para ir luego acotando el área mediante particiones cada vez menores. Este concepto es el aplicado por riemann para el cálculo de áreas.

En este video estudiamos uno de los problemas más importantes del cálculo integral que tiene que ver con el cálculo del área bajo una curva. Este problema lo iniciamos de una forma intuitiva, suponiendo que nos piden encontrar el área de la curva x^2/2 en el intervalo 1 y 3. Si observamos la gráfica elaborada previamente en el video, vemos que partimos por pintar cuatro rectángulos bajo la curva. La idea de pintar esos rectángulos es que si sumamos las áreas de los rectángulos se va a aproximar mucho al área total bajo la curva. Para esto partimos por encontrar el área de cada rectángulo, los cuales tienen en común que el ancho es igual para todos, el ancho lo podemos determinar restando los valores de x en el intervalo y dividiendo entre el número de rectángulos. Cada pequeña variación en el eje x lo vamos a llamar delta de x. Ahora bien, para cada uno de esos rectángulos lo que varía es la altura. Para cada rectángulo en particular la altura recae siempre en el lado izquierdo, y para calcularla debemos saber el valor de la imagen en cada uno de los puntos izquierdos. 

Entonces, para calcular el área lo que se hace es multiplicar el valor en cada punto por el ancho de cada rectángulo y sumarlos. Es decir, el área encontrada es un valor aproximado. También podemos escribir la suma de los rectángulos en términos de una sumatoria para resumir la operación anterior. Luego, mediante una tabla podemos calcular la imagen para cada x en la función. Si sustituimos la imagen y realizamos la operación, vamos a obtener finalmente el valor aproximado del área, teniendo en cuenta que las alturas se calcularon por la izquierda al momento de expresar el área. También pudimos haber dibujado los rectángulos de otra forma, que sería tomando la altura por la derecha, obteniendo un valor aproximado mayor que el área de la curva. En el video se explica también cómo expresar esto como una suma, notación que será necesaria utilizar más adelante. 

Cuando hayamos obtenido el valor aproximado del área por derecha y por izquierda, podemos decir que el valor del área se encuentra comprendido entre los dos valores hallados. Al final del video se aclara y ejemplifica que para mejorar la aproximación podemos utilizar más rectángulos, hallar el área por derecha y por izquierda y acercarnos más al valor de esta manera, ya que al hacer los rectángulos más angostos se van a perder menos áreas.
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