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Lección 120

Área bajo una curva en coordenadas polares (conceptos)

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Conceptos básicos de como encontrar el área bajo una curva cuando está dada en coordenadas polares.

Se muestra como a partir de la suma de diferenciales de forma de sector circular se puede deducir una fórmula general para encontrar el área bajo la curva.

El área será entonces la integral de theta 1 a theta 2 de 1/2 del cuadrado de la función en theta.

En este video se explican conceptos básicos de cómo encontrar el área bajo una curva cuando está dada en coordenadas polares. En el pasado estudiamos cómo encontrar el área bajo una curva en coordenadas rectangulares. Los conceptos vistos cuando hablábamos de coordenadas rectangulares, dado el caso que tuviéramos una curva cualquiera y=f(x) y nos interesa encontrar el área bajo la curva en el intervalo comprendido entre a y b. Para hacerlo dibujábamos pequeños rectángulos y decíamos que su suma era el área, siempre que ese espesor de dichos rectángulos fuera muy pequeño (lo llamábamos diferencial de x). Decíamos que el diferencial del área, que es el área de un rectángulo señalado, es igual la altura del rectángulo que es “y”, por el ancho que es dx. Donde “y” es una función de x, entonces decíamos que el diferencial de área era igual a f(x)dx. 

Como nos interesaba encontrar el área, no sólo de un rectángulo, sino de todos los rectángulos, lo hacíamos mediante la notación de integral. Sumábamos desde a hasta b, de f(x)dx, cuyo resultado es el área bajo dicha curva en ese intervalo. Para coordenadas polares se procede de una manera muy similar, con la diferencia de que no se utilizan rectángulos sino sectores circulares. Supongamos que tenemos una curva cualquiera en coordenadas polares r que es igual a f de teta. Recordemos que en coordenadas plares hablamos de un eje polar, OA, y a partir de dicho eje vamos teniendo todos los ángulos desde cero hasta 360, y para cada ángulo de ellos tenemos una imagen que llamamos r, una longitud cualquiera. En nuestro caso vamos a llamar theta 1 y theta 2, en el que nuestro problema es encontrar el área entre ellos dos. Para encontrar dicha área dibujamos un par de sectores, obviamente entre más angosto sea el ángulo que tenemos para el sector circular, más precisa va a ser la suma. 

Similar a las coordenadas rectangulares con el dx, ya que si hacemos muy pequeño el diferencial, todos del mismo tamaño, y los sumamos, vamos a tener una muy buena aproximación de la curva. Podemos decir entonces que el diferencial de área es igual al área del sector circular por el ángulo de theta. Dicho de otra manera el diferencial de área es igual a un medio de f de theta al cuadrado por el diferencial de theta y, finalmente, la fórmula para encontrar el área en coordenadas polares entre dos ángulos cualquiera, sería igual a un medio de la integral entre theta 1 y theta 2, de f de theta al cuadrado por el diferencial de theta.
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